Cohomologie 𝑝-adique de la tour de Drinfeld: le cas de la dimension 1

Abstract

We compute the p p -adic geometric étale cohomology of the coverings of the Drinfeld half-plane, and we show that, if the base field is Q p \mathbf {Q}_p , this cohomology encodes the p p -adic local Langlands correspondence for 2 2 -dimensional de Rham representations (of weight 0 0 and 1 1 ).

Hodge theory of $p$-adic varieties: a survey

“…(ii) We have similar results [21] for étale coverings of Ω K . This is used to show that, for K = Q p , the p-adic étale cohomology of these coverings encodes a part of the p-adic local Langlands correspondence, which yields a geometric realization for this correspondence (it is a classical result that the -adic étale cohomology of these coverings can be used to provide a geometric realization of the classical local Langlands correspondence).…”

Revĉtements du demi-plan de Drinfeld et correspondance de Langlands $p$-adique

“…Il reste donc à démontrer le a), et il suffit de le faire pour k = 0. Si n = 0, il s'agit d'un exercice amusant (25) laissé au lecteur. Dans le cas général, on utilise le fait que Σ n est un revêtement étale de Σ 0 .…”

“…mais cela demande plus de travail : l'argument global utilisé permet de démontrer facilement qu'il n'y a pas d'autre représentation de la série discrète (ainsi que beaucoup de séries principales) parmi les sous-quotients de H 1 dR,c (Σ n ) ρ ∨ , mais il ne semble pas facile d'exclure la présence de n'importe quelle série principale avec ce genre d'argument (dans le cas ℓ-adique, ce genre de difficulté est contourné en utilisant l'isomorphisme de Faltings-Fargues [36,37] ; cela semble plus délicat dans notre situation, mais c'est effectivement ce qui est fait dans [25], où le résultat est démontré avec GL 2 (Q p ) remplacé par GL 2 (F ), avec F une extension finie quelconque de Q p ). On suppose que K p = ℓ =p K ℓ , où K ℓ est un sous-groupe ouvert compact deB * (Q ℓ ), et on suppose qu'il existe au moins un premier ℓ 0 tel que K ℓ0 soit sans torsion.…”

“…de recherche intéressantes. En particulier, ils sont utilisés dans [25] pour calculer la cohomologie étale p-adique des revêtements du demi-plan de Drinfeld, obtenant ainsi l'analogue p-adique (pour GL 2 (Q p ) pour l'instant...) de [10]. 1.…”

On the $p$-adic pro-étale cohomology of Drinfeld symmetric spaces

“…Despite these difficulties, recently Colmez-Dospinescu-Nizio l, [CDN20a], were able to show that the geometric p-adic étale cohomology of the Drinfeld tower over Q p in dimension 1 realizes the p-adic local Langlands correspondence for GL 2 (Q p ), for the 2-dimensional de Rham representations of G Qp of Hodge-Tate weight 0 and 1, whose associated Weil-Deligne representation is irreducible. Moreover, their computation suggests that the geometric p-adic étale cohomology of the Drinfeld tower over K in dimension 1 should encode a still hypothetical p-adic Langlands correspondence for GL 2 (K), for a general K.…”