Cohomological rigidity of manifolds defined by 3-dimensional polytopes

Abstract

Семейство замкнутых многообразий называется когомологически жeстким, если изоморфизм колец когомологий влечeт диффеоморфизм для любых двух многообразий из этого семейства. В центре внимания обзора - результаты о когомологической жeсткости для широких семейств шестимерных и трeхмерных многообразий, задаваемых трeхмерными многогранниками. Рассматривается класс $\mathscr{P}$ трeхмерных комбинаторных простых многогранников $P$, отличных от тетраэдра, грани которых не образуют $3$- и $4$-поясов. Этот класс содержит все математические фуллерены, т. е. простые трeхмерные многогранники, имеющие лишь пятиугольные и шестиугольные грани. Согласно теореме Погорелова, многогранник из класса $\mathscr{P}$ допускает прямоугольную реализацию в пространстве Лобачевского, которая единственна с точностью до изометрии. Изучаемые семейства гладких многообразий ассоциированы с многогранниками из класса $\mathscr{P}$. Первое семейство составляют трeхмерные малые накрытия над многогранниками из $\mathscr{P}$ или, эквивалентно, гиперболические 3-многообразия типа Лeбелля. Второе семейство состоит из шестимерных квазиторических многообразий над многогранниками из $\mathscr{P}$. Наш основной результат заключается в том, что оба эти семейства являются когомологически жeсткими, т. е. два многообразия $M$ и $M'$ из любого из этих семейств диффеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их кольца когомологий. Более того, доказывается, что если $M$ и $M'$ диффеоморфны, то соответствующие многогранники $P$ и $P'$ комбинаторно эквивалентны. Эти результаты переплетаются с классическими сюжетами геометрии и топологии, которые составили обзорную часть нашей статьи. Речь идeт о комбинаторике трeхмерных многогранников, теореме о четырeх красках, асферических многообразиях, классификации гладких шестимерных многообразий и инвариантности классов Понтрягина. Доказательства в основной части статьи используют технику торической топологии. Библиография: 68 названий.