Closed form stiffness matrices and error estimators for plane hierarchic triangular elements

Abstract

SUMMARYClosed form expressions for the stiffness matrix and a simple error estimator and error indicator are derived for plane straight sided triangular finite elements in elasticity problems. The calculation of the error estimator is performed on an element by element basis, and is found to be very accurate and efficient. In general, the solutions for benchmark problems using the error indicators for selective refinement of the regions show accelerated convergence when compared to the convergence rate of solutions using uniform mesh refinement. Evaluation of the stiffness matrices and error estimators using explicit formulations is found to be several times faster than numerical integration.

Elastic stiffness of straight‐sided triangular finite elements by analytical and numerical integration

“…Number of Number of sampling [5,10] := -(-2 nu x1 y5 + 2 nu x3 y5 -2 nu y1 x3 + y1 x1-x1 y3 + 2 x1 y3 nu -y1 x5 + 2 y1 x5 nu + y3 x5-2 y3 x5 nu) E/(12(x1 y3 -x1 y5 + x3 y5 -y1 x3 + y1 x5 -y3 x5) (-1 + 2 nu)(1 + nu)) -23750 km [5,10] …”

“…Rathod [8] presented analytical integration formulas for a 4-node isoparametric FE and showed that all the integration formulas could be obtained on the basis of four simple integrals. Generation of Fortran code by CAS was discussed by Wang et al [9] and Lawrence et al [10] for triangles, and Shiakolas et al [11] for tetrahedra.…”

Estimador de erro para a formulação p do metodo dos elementos finitos aplicado ao problema fluido-estrutura

“…Ou seja, as matrizes de massa de rigidez, compressibilidade, volumétrica e de acoplamento não são mais integradas numericamente para cada elemento. Não é um procedimento novo, as referências [52,53,54,55,56,57,58,59,60,61] apresentam técnicas de integração, de redução no armazenamento dos termos das matrizes, as expressões destas matrizes para elementos triangulares e tetraédricos [53,58,61,59,60,54],…”

“…termos para elementos quadrilaterais [55,56,57] e procedimentos empregados para resolver indeterminações que surgem nestes processos de integração [56,54,57]. Em sua grande maioria estes trabalhos são voltados para determinação da matriz de rigidez em problemas de elasticidade, alguns abordam também expressões para os estimadores de erro na forma fechada [53,60]. Em praticamente todas as referências é citado como motivação principal a expressiva redução no tempo de integração.…”

“…O emprego de elementos triangulares neste trabalho, em parte deve-se a decisão de usar matrizes fechadas. A simplicidade das expressões para integrais de área e de linha quando expressas em coordenadas de área ou naturais recomendavam este elemento [53,58,61,59,60,54]. Expressões mais simples também facilitam a elaboração de programas em linguagem de matemática simbólica.…”