Classification of Prolonged Bi-metric Structures on Distributions of Non-zero Curvature of Sub-Riemannian Manifolds

Abstract

Галаев Сергей Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83, sgalaev@mail.ru Вводится понятие внутренней геометрии субриманова многообразия M , под которой понимается совокупность тех свойств многообразия, которые зависят только от оснащения D ⊥ распределения D субриманова многообразия, а также от параллельного перенесения векторов, принадлежащих распределению D, вдоль кривых, касающихся этого распределения. Инвариантами внутренней геометрии субриманова многообразия M являются: тензор кривизны Схоутена; 1-форма η, порождающая распределение D; производная Ли L ξ g метрического тензора g вдоль векторного поля ξ; тензорное поле P , компоненты которого в адаптированных координатах выражаются с помощью равенств P c ad = ∂ n Γ c ad . В зависимости от свойств перечисленных выше инвариантов выделяются 12 классов субримановых многообразий. С помощью внутренней связности, заданной на субримановом многообразии M , на распределении D многообразия M определяется почти контактная структура с би-метрикой, названная в работе продолженной структурой. Проводится сравнительный анализ двух классификаций продолженных структур. В соответствии с первой классификацией выделяется 12 классов продолженных структур, соответствующих 12 классам исходных субримановых многообразий. Вторая классификация основана на свойствах фундаментального, ассоциированного с би-метрической структурой, тензора F типа (0, 3). В соответствии со второй классификацией существуют 2 11 классов би-метрических структур, среди которых 11 базисных классов F i , i = 1, . . . , 11. В статье рассматривается случай субриманова многообразия с ненулевым тензором кривизны Схоутена и равной нулю производной Ли L ξ g. Доказывается, что продолженные почти контактные би-метрические структуры, соответствующие субримановым структурам, с равным нулю инвариантом ω = dη принадлежат классу F 1 ⊕ F 2 ⊕ F 3 , а с отличным от нуля инвариантом ω = dη -классу F 1 ⊕ F 2 ⊕ F 3 ⊕ F 7 ⊕ · · · ⊕ F 10 .Ключевые слова: субриманово многообразие контактного типа, внутренняя геометрия субриманова многообразия, продолженная почти контактная структура с би-метрикой, распределение ненулевой кривизны. ВВЕДЕНИЕИсследование почти контактных би-метрических структур начинается с основополагающей работы [1], в которой дано определение би-метрических многообразий и предложена классификация таких многообразий, основанная на выделении инвариантных подпространств в пространстве тензоров специального вида. В соответствии с указанной классификацией выделяются 2 11 классов би-метрических многообразий