Bounds for short covering codes and reactive tabu search

Mendes, Carlos; Carmelo, Emerson L. Monte; Poggi, Marcus

doi:10.1016/j.dam.2009.11.006

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“…Vários resultados da função clássica foram transladados naturalmente para esse novo problema, e em [8], Mendes e outros provaram um resultado de coberturas (clássicas) via coberturas curtas. Foi provado c 5 (10, 7) = 2 e, a partir desse resultado, pôde-se concluir que K 5 (10, 7) = 9.…”

Section: Uma Variante: Coberturas Curtasunclassified

Coberturas curtas em espaços de Hamming

Martinhão¹,

Monte

2015

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo: Seja F 3 q o espaço vetorial tridimensional sobre o corpo finito F q . No espaço métrico induzido pela distância de Hamming, a bola estendidaé a união de todas as bolas de raio 1 com centros nos múltiplos escalares de u. O seguinte problema de coberturaé induzido: dizemos que um subconjunto H de F 3 qé uma cobertura curta se a união de todas as bolas estendidas com centros nos elementos de H cobrem todo o espaço. Neste trabalho, algumas condições necessárias e algumas condições suficientes para uma cobertura curta são discutidas. Também determinamos cardinalidade mínima de uma cobertura curta para algumas instâncias de q.Palavras-chave: Códigos, coberturas, distância de Hamming, corpos finitos, ações de grupos. Introdução O problema clássicoAlgumas aplicações da teoria de códigos de cobertura são: compressão com distorção, compressão de dados, decodificação de erros, transmissão em redes interconectadas, codificação de voz, telecomunicação via celular e outros, conforme [3]. Conceitos de outrasáreas da matemática, comoálgebra, combinatória e teoria dos números têm sido aplicados a essa teoria. Para uma visão geral e algumas aplicações de códigos de coberturas veja o livro [3].O problema de coberturas tem suas origens em 1948, quando Taussky e Todd [11] o introduziram no contexto da teoria de grupos. Com o passar dos anos o problema de coberturas ganhou um contexto mais combinatório e foi estudado dentro da teoria dos códigos, e tem se mostrado um grande desafio. Neste novo contexto, surgiram mais problemas, como por exemplo o problema de encontrar bons sistemas de loteria esportiva (football pool systems) enunciado a seguir. Dadas n partidas de futebol a serem realizadas, deve-se determinar o menor número de apostas que devem ser feitas para garantir que exista pelo menos uma aposta que consiga acertar o resultado de pelo menos n − 1 dessas partidas. Este problema da loteria esportiva vem sendo estudado desde os anos 50 por matemáticos, cientistas da computação e engenheiros. Alguns pesquisadores que estudaram esse problema são Kamps, Van Lint, Hämäläinen, Rankinen, Ostergard. Além do Brasil, este sistema de loteria esportivaé comum em países escandinavos, como Suécia e Finlândia.Seja Q um conjunto finito com q elementos para qualquer inteiro q. Para simplificar a notação utilizaremos Q = Z q o anel dos inteiro módulo q. Uma estrutura de espaço métricó e induzida em Z n q quando considerada a distância de Hamming queé definida da seguinte maneira: dados u e v em Z n q , d(u, v) denota o número de coordenadas em que u e v diferem. Por exemplo, d(000, 102) = 2, pois estes vetores diferem na primeira e na terceira coordenadas. Um subconjunto C de Z n qé um código de cobertura, ou simplesmente uma R-cobertura quando a união das bolas com raio R, com centros nos vetores de Cé todo o espaço. Uma pergunta interessante da teoriaé: Qualé a cardinalidade mínima K q (n, R) de uma R-cobertura em Z n q ? Com o passar dos anos, os cálculos revelaram-se extremamente difíceis. Usando várias ferramentas e introduzindo no...

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Section: Uma Variante: Coberturas Curtasunclassified

Coberturas curtas em espaços de Hamming

Martinhão¹,

Monte

2015

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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“…Indeed, short coverings might provide us with a way to store nonlinear codes using less memory than the classical ones. Their results might reach record-breaking on the classical codes, as obtained in [11]. On the theoretical viewpoint, results on short covering have been investigated in connection with additive combinatorics, graph theory, and group theory.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…The number 2 is a generator of Z * 13 . By Theorem 4.4, the set X = (1, 2 2·2 , 2 2·1 ), (1, 2 2·1 , 2 2·2 ), (1, 2 2·5 , 2 2·3 ), (1, 2 2·3 , 2 2·5 ) = { (1,3,4), (1,4,3), (1,10,12), (1,12,10)} is a short covering of 2 · 12 = 24 elements of E. Since |E| = 30, we need to cover 6 remaining vectors of E. By Fact 1 of Lemma 5.5, these six vectors are: (1, 2, 11), (1,5,8), (1,6,7), (1,7,6), (1,8,5), (1,11,2). They are covered by (1,2 2·4 , −2 2·4 ) = (1, 9, 4).…”

Section: Upper Bound For Short Coveringsmentioning

confidence: 99%

“…The set H 2 is a short covering of F (1,4,16), (1,6,17), (1,17,6), (1,11,7), (1,7,11), (1,5,9), (1, 9, 5)} , which is a short covering of exactly 4 · 18 = 72 elements of the corresponding E. Since |E| = 72, the set E is totally covered by X .…”

Section: Upper Bound For Short Coveringsmentioning

confidence: 99%

“…If n ≡ 0 (mod 8), then Ω(n) = n/2 . Particular embedded matchings of (K 8 , ω) and (K 16 , ω) are, respectively, {(2, 1), (7,5), (6,3), (8,4)} , {(3, 2), (13,11), (7,4), (14,10), (6,1), (15,9), (12,5), (16,8)} .…”

Section: Lemma 32 Let M and N Be Embedded Matchings Of (K N ω) Smentioning

confidence: 99%

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Short covering codes arising from matchings in weighted graphs

Martinhão¹,

Carmelo²

2012

Math. Comp.

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Abstract. The concept of embedded matching in a weighted graph is introduced, and the maximum cardinality of an embedded matching is computed. On the other hand, consider the following problem induced by a short covering. Given a prime power q, the number c(q) denotes the minimum cardinality of a subset H of F 3 q which satisfies the following property: every element in this space differs in at most 1 coordinate from a scalar multiple of a vector in H. As another goal, a connection between embedded matching and short covering code is established. Moreover, this link is applied to improve the upper bound on c(q) for every odd prime power q.

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Covering codes and extremal problems from invariant sets under permutations

Carmelo

2013

Discrete Mathematics

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Bounds for short covering codes and reactive tabu search

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Coberturas curtas em espaços de Hamming

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