Resumo: Seja F 3 q o espaço vetorial tridimensional sobre o corpo finito F q . No espaço métrico induzido pela distância de Hamming, a bola estendidaé a união de todas as bolas de raio 1 com centros nos múltiplos escalares de u. O seguinte problema de coberturaé induzido: dizemos que um subconjunto H de F 3 qé uma cobertura curta se a união de todas as bolas estendidas com centros nos elementos de H cobrem todo o espaço. Neste trabalho, algumas condições necessárias e algumas condições suficientes para uma cobertura curta são discutidas. Também determinamos cardinalidade mínima de uma cobertura curta para algumas instâncias de q.Palavras-chave: Códigos, coberturas, distância de Hamming, corpos finitos, ações de grupos.
Introdução
O problema clássicoAlgumas aplicações da teoria de códigos de cobertura são: compressão com distorção, compressão de dados, decodificação de erros, transmissão em redes interconectadas, codificação de voz, telecomunicação via celular e outros, conforme [3]. Conceitos de outrasáreas da matemática, comoálgebra, combinatória e teoria dos números têm sido aplicados a essa teoria. Para uma visão geral e algumas aplicações de códigos de coberturas veja o livro [3].O problema de coberturas tem suas origens em 1948, quando Taussky e Todd [11] o introduziram no contexto da teoria de grupos. Com o passar dos anos o problema de coberturas ganhou um contexto mais combinatório e foi estudado dentro da teoria dos códigos, e tem se mostrado um grande desafio. Neste novo contexto, surgiram mais problemas, como por exemplo o problema de encontrar bons sistemas de loteria esportiva (football pool systems) enunciado a seguir. Dadas n partidas de futebol a serem realizadas, deve-se determinar o menor número de apostas que devem ser feitas para garantir que exista pelo menos uma aposta que consiga acertar o resultado de pelo menos n − 1 dessas partidas. Este problema da loteria esportiva vem sendo estudado desde os anos 50 por matemáticos, cientistas da computação e engenheiros. Alguns pesquisadores que estudaram esse problema são Kamps, Van Lint, Hämäläinen, Rankinen, Ostergard. Além do Brasil, este sistema de loteria esportivaé comum em países escandinavos, como Suécia e Finlândia.Seja Q um conjunto finito com q elementos para qualquer inteiro q. Para simplificar a notação utilizaremos Q = Z q o anel dos inteiro módulo q. Uma estrutura de espaço métricó e induzida em Z n q quando considerada a distância de Hamming queé definida da seguinte maneira: dados u e v em Z n q , d(u, v) denota o número de coordenadas em que u e v diferem. Por exemplo, d(000, 102) = 2, pois estes vetores diferem na primeira e na terceira coordenadas. Um subconjunto C de Z n qé um código de cobertura, ou simplesmente uma R-cobertura quando a união das bolas com raio R, com centros nos vetores de Cé todo o espaço. Uma pergunta interessante da teoriaé: Qualé a cardinalidade mínima K q (n, R) de uma R-cobertura em Z n q ? Com o passar dos anos, os cálculos revelaram-se extremamente difíceis. Usando várias ferramentas e introduzindo no...