Border trees of complex networks

Abstract

The comprehensive characterization of the structure of complex networks is essential to understand the dynamical processes which guide their evolution. The discovery of the scale-free distribution and the small-world properties of real networks were fundamental to stimulate more realistic models and to understand important dynamical processes related to network growth. However, the properties of the network borders (nodes with degree equal to 1), one of its most fragile parts, remained little investigated and understood. The border nodes may be involved in the evolution of structures such as geographical networks. Here we analyze the border trees of complex networks, which are defined as the subgraphs without cycles connected to the remainder of the network (containing cycles) and terminating into border nodes. In addition to describing an algorithm for identification of such tree subgraphs, we also consider how their topological properties can be quantified in terms of their depth and number of leaves. We investigate the properties of border trees for several theoretical models as well as real-world networks. Among the obtained results, we found that more than half of the nodes of some real-world networks belong to the border trees. A power-law with cut-off was observed for the distribution of the depth and number of leaves of the border trees. An analysis of the local role of the nodes in the border trees was also performed.

Random walks on complex trees

“…These results provide important insights into diffusion problems on trees, and help explaining the characteristic slow dynamics observed on diffusive processes taking place on top of tree networks [12,13,14]. Moreover, they are also interesting in the study of dynamics in real-world networks, in which the so-called border trees motifs [41] have been recently shown to be significantly present.…”

Efeito da amostragem nas propriedades topológicas de redes complexas

“…Neste trabalho, foram realizados um levantamento da maioria das medidas de redes complexas e uma análise de como elas podem ser usadas para classificação de redes reais em modelos teóricos tradicionais através de estatística multivariada e teoria de decisão Bayesiana [29] (ver capítulo 4). Além disso, foram introduzidos os conceitos de duas estruturas em redes complexas: cadeias de vértices [30] e árvores de borda [31].…”

“…Árvores de borda [31] podem ser compreendidas como um tipo especial de motivos -subgrafos cuja probabilidade de ocorrerem em redes reais é maior do que nas redes aleatórias correspondentes (e.g. [68] …”

“…Os números entre parêntesis representam os desvios padrões obtidos para as versões aleatórias de cada rede analisada. Tabela extraída de [31]. No primeiro intervalo considerado, a distribuição do modelo está abaixo da distribuição da média das respectivas versões aleatórias.…”

“…Os intervalos foram obtidos de forma a garantir que a distribuição de profundidades ou do número de folhas está acima ou abaixo da distribuição da média das respectivas versões aleatórias. Tabela extraída de [31]. aglomeração que, por sua vez, faz diminuir a chance de aparecer árvores de borda profundas e com muitas ramificações.…”