Bernstein–Sato polynomial versus cohomology of the Milnor fiber for generic hyperplane arrangements

Abstract

Let Q ∈ C[x 1 , . . . , x n ] be a homogeneous polynomial of degree k > 0. We establish a connection between the Bernstein-Sato polynomial b Q (s) and the degrees of the generators for the top cohomology of the associated Milnor fiber. In particular, the integerThe link is provided by the relative de Rham complex and D-module algorithms for computing integration functors.As an application we determine the Bernstein-Sato polynomial b Q (s) of a generic central arrangement Q = k i=1 H i of hyperplanes. In turn, we obtain information about the cohomology of the Milnor fiber of such arrangements related to results of Orlik and Randell who investigated the monodromy.We also introduce certain subschemes of the arrangement determined by the roots of b Q (s). They appear to correspond to iterated singular loci.

On meromorphic functions defined by a differential system of order $1$

“…Moreover, our geometric proof gives an explicit system of generators of Ann D 1/h. In the particular case of a generic central hyperplane arrangement (Corollary 5.3), this answers a conjecture of U. Walther [21].…”

Linear free divisors and the global logarithmic comparison theorem

“…Several authors have further investigated the range of validity of LCT, and established interesting links with the theory of D-modules, in particular in [4], [6], [11], [27], and [28].…”

CONSTRUCTION D'UN ÉLÉMENT REMARQUABLE DE L'IDÉAL DE BERNSTEIN-SATO ASSOCIÉ À DEUX COURBES PLANES ANALYTIQUES

“…Citons aussi Oaku [17] qui, le premier, donna un algorithme de calcul du polynôme de Bernstein global et local d'un polynôme, et ce sans aucune hypothèse sur le polynôme en question; cet algorithme est basé sur la théorie des bases de Gröbner dans les anneaux d'opérateurs différentiels. Signalons [22] dans lequel U. Walther calcule le polynôme de Bernstein (global) d'un arrangement d'hyperplans générique. Enfin, terminons cette liste (non exhaustive) par une contribution qui nous concerne directement ici,à savoir l'article de Briançon et al [7] dans lequel les auteurs donnent une méthode explicite pour déterminer le polynôme de Bernstein d'une singularité semi-quasi-homogène ou non dégénérée au sens de Kouchnirenko (voir aussi Torrelli [20] où D n est l'anneau des opérateurs différentielsà coefficients dans C{x} et F est le produit des f j .…”