�ber eine Methode zum Beweise von Oszillationstheoremen

Abstract

O, Baze~. 0bet 0~itla~ionstheoreme. 6~ 0ber eine Methode zum Beweise yon 0szillations~eoremen. Von OTTo HAuPT in Karlsruhe i/B. EinIeitung. Is~ eine gew~hnliche Differen~ialgleichung gegeb~n~ we!~he einen Parameter enth~l~, uncl schreibt m~ ffir die L6sungen in den Endptulk~en eines Intervalls a~ b Bedingungen vor~ die nur f~r gewisse~ die sogenaunten ausge~neten Werte des t~ar~ er~llt werden kSnnen, so wird bierdutch eine l~andwertaufgabe definiert. Wit nehmen an, es exist~exea ausgezeichnete Parameierwerte, denen ausgezeichnete LSswngen der Differentialgleichung zugehSren, und es lassen sick iiberdies naeh einem bestimmten Gese~ze die ansgezeiehneten Param~tevwerte ~rak+~eriss dure~h die l~ulls~ellenzaM der zugeh6rigen ausgezeichneten LSsungen im In~rvaU a, b, d.h. (lurch die sogenannfen Oszilla~ionszaMen: dana bezaictme~ mau dieses Ge~4~ nach Xldn, als ein Oszillationsth~orem. Ein solches schlieBt 9 also s~e~s auch ein Exisienzflaeorem i~ sick und ]iefer~ eine Rege~ naah der die s~nflichen ausgezeiclmeten Parame~erwerte sick ordnen lassen. Zweck der folgenden Zeilen ist es, eine Me,ode ~ sie I~B~ sick als eine Kontinuit~smethode bezeichnen --zur Gewinnung yon Oszillationstheoremen darzulegen*). Bei ihrer Anwendung hat man in erster Linie festzustellen, in welcher Weise sick ausgezeichnete Parameterwer~e und OsziUa~ionszahlen ~ndern, sobald man die Kocfiizienten der Differen~ialgleichung oeler die Randbedingnngen oder beide in gewisser Weise variierk Lassen sick dann ~uderungen angeben, bei welchen ausgezeichnete Parameterwerte und ausgczeictmete LSsungen wcder verloren noch gewonnen warden und die Oszillationszahlen sick nich~ oder dock nut in genau augebbarer Weise ~indern, so bleib~ ein Oszillations~heorem diesen ~tnderungen gegentiber erhalten. In diesem l~alle braucht man &as Oszillationstheorem nur f~r 9 ) Die Grundlage clieser Method% welche in tier v~egenden Arbeit ver~ieFa und weif~rgeffthrt wird~ s sick in me/n~r Dissert~on: UnSers. fiber ~ions-

On a stability theorem of liapunov

“…The following result due to Liapunov [7] and Haupt [4,5] connects the problem of the determination of those values of 2 for which solutions of (1) are stable to the problem of determining those values of 2 for which equation (1) has a solution of period ~ or 2n:…”

Bounds on the Non‐real Spectrum of a Singular Indefinite Sturm‐Liouville Operator on ℝ

“…The spectral properties of such differential operators have attracted interest for more than a century, see [8,11]. For an overview we refer to [13] and for recent results on the non-real spectrum see [2][3][4][5][6][7]10].…”

On the Eigenvalues of Half-Linear Boundary Value Problems

“…If q(t) changes sign on [0, b] we call the problem (1.1), (1.2) indefinite. This case was considered by Hilb [12], Haupt [11] and Richardson [16] who proved theorems on the oscillation of the solutions and generalized some parts of the theory of definite problems to indefinite ones.…”