Asymptotic behaviour of an elastic body with a surface having small stuck regions

Асимптотики И Оценки Собственных Элементов Лапласиана С Частой Непериодической Сменой Граничных Условий

“…Кроме того, сумма внешнего разложения и пограничного слоя не удовлетворяет (даже асимп тотически) граничному условию Дирихле на 7е • Поэтому в окрестности точек х £ -вводятся новые "растянутые" переменные с; 3 , а асимптотика собственной функции строится в виде ф 1^ методом согласования асимптотических разложений. Приме нение термина "растянутые" к переменным с; 3 оправдано, так как в силу равенст ва (1.5) функция т] имеет следующий вид:…”

“…\х\ -^f < 42 < TFJ' ^потому (3) fs по П в силу определения % фактически сводится к интегрированию по области где Сб > 0 -некоторое фиксированное число. Далее, функцию fs оцениваем на основе леммы 2.5: Из полученных оценок величин fs следует утверждение леммы.…”

“…Множества 7е,* и 7* удовлетворяют условиям (СО) и (С1): функция 77 из (С1) для них -это функ ции 770/7 и /7 из условия теоремы соответственно; равенство (1.5) для этих функций выполнено с одним и тем же А > 0. Величины 8 3 (г) для множеств 7е,* и 7* рав ны нулю, а потому в силу леммы 2.8 собственные значения А^ ^ и А^'* сходятся к собственным значениям задачи (1.6) и верны асимптотики …”

“…В работах [2]- [9] для задач с чередованием первого краевого условия со вторым либо третьим краевым условием были также получены усредненные за дачи и приведены достаточно простые условия, определяющие зависимость ти па усредненной задачи от структуры чередования. Случай, когда подмножество границы с граничным условием Дирихле имеет периодическую структуру, иссле довался в [3]- [6]. Сходимость в непериодическом случае изучалась в [2], [8], [9].…”

“…В заключение отметим, что вопросы усреднения и оценок скорости сходимос ти для трехмерных задач с частой сменой краевых условий исследовались в [1], [3]- [5], [7]- [11], [14]- [16]; асимптотики собственных значений оператора Лапласа в цилиндре с частой сменой граничных условий на узких полосах на боковой по верхности были построены в [27]- [29]. Отметим также, что в работах [30], [31] была рассмотрена краевая задача для уравнения Пуассона в n-мерном слое с час тым периодическим чередованием условий Дирихле и Неймана на частях границы, стягивающихся к точке; также дополнительно предполагалось, что меры частей границы с разными типами граничных условий имеют одинаковый порядок малос ти.…”