An Efficient Correction Method to Obtain a Formally Third-Order Accurate Flow Solver for Node-Centered Unstructured Grids

Abstract

A new method of obtaining third-order accuracy on unstructured grid flow solvers is presented. The method involves a simple correction to a traditional linear Galerkin scheme on tetrahedra and can be conveniently added to existing second-order accurate node-centered flow solvers. The correction involves gradients of the flux computed with a quadratic least squares approximation. However, once the gradients are computed, no second derivative information or high-order quadrature is necessary to achieve third-order accuracy. The scheme is analyzed both analytically using truncation error, and numerically using solution error for an exact solution to the Euler equations. Two demonstration cases for steady, inviscid flow reveal increased accuracy and excellent shock capturing with no loss in steady-state convergence rate. Computational timing results are presented which show the additional expense from the correction is modest compared to the increase in accuracy.

On the order of accuracy of edge-based schemes on meshes of a special type

“…Будем считать, что решение зависит только от t и x. Для того чтобы выписать уравнение на главный корректор, нужно определить матрицуL и правую часть f (2) . Начнём с матрицыL и рассмотрим одну её строку.…”

“…3. Коэффициенты схемы EBR3 на сетке из прямоугольных и равнобедрен-ных треугольников подобласти, выполняется f (2) n = 0. Для схемы EBR3 уравнение (24) является ожидаемым, поскольку схема EBR3 имеет шаблон из соседей 2-го порядка по рёбрам и обладает точностью на кубической функции.…”

“…Автор не дал названия этой схеме, говоря о ней как о противопотоковой схеме повышен-ного порядка точности (higher order accurate upwind scheme). В [2] эта схема называлась линейной схемой Галёркина, а в [3] -вершинно-центрированной конечно-объёмной схемой. Для простоты мы будем называть её «линейной».…”

“…Метод коррекции потоков (Flux correction, FC) был предложен в работах [2], [3] и отличается от «линейной» схемы тем, что градиенты в узлах, исполь-зуемые для определения потоков в центрах рёбер, вычисляются с повышенной точностью. В результате аппроксимация дивергенции потоков становится точ-ной на квадратичных полиномах, и при ограничении на минимальный угол тре-угольника аппроксимационная ошибка имеет порядок O(h 2 ).…”

“…Метод коррекции потоков на практике показывает третий порядок точности на стационарных за-дачах, однако в нестационарном случае порядок равен двум. Для исправления этого недостатка в [2], [3] было предложено использовать сложную аппрокси-мацию временной производной, однако это делает схему существенно более дорогой и приводит к потере консервативности. В [5] был предложен альтер-нативный способ повышения точности на настационарных задачах, названный нестационарным методом коррекции потоков (UFC), однако при этом точность на квадратичных полиномах была потеряна.…”