Algèbres et cogèbres de Gerstenhaber et cohomologie de Chevalley–Harrison

Algèbres Hom-Gerstenhaber à homotopie près

“…On considère l'espace A [1], la graduation deg(α) = |α| − 1 qu'on note simplement par la lettre α et l'algèbre tensorielle de A [1] sans unité :…”

“…Par conséquent, (T + (A [1]), Δ f , f ) est une cogèbre Hom-coassociative. Cette cogèbre est colibre, ce qui permet de prolonger toute application linéaire Q k :…”

“…Plus précisément, disons que (G, ∧, [ , ], f ) est une algèbre Hom-Gerstenhaber si G est un espace vectoriel gradué muni d'une application linéaire f : G −→ G de degré 0, d'une multiplication graduée ∧ : G ⊗ G −→ G de degré 0 tel que (G, ∧, f ) est une algèbre commutative Hom-associative graduée et d'un crochet [ , ] : G ⊗ G −→ G de degré −1 tel que (G [1], [ , ], f ) soit une algèbre Hom-Lie graduée et que le crochet [ , ] et le produit ∧ vérifient une relation de compatibilité entre eux dite relation de Hom-Leibniz.…”

“…On veut réaliser la construction d'algèbre à homotopie près faite comme dans le cas des algèbres de Gerstenhaber (voir [1]). La construction complète nécessite une bicogèbre W (munie d'un coproduit Δ f et d'un cocrochet κ f avec des relations de compatibiltés) et les deux lois de notre algèbre permettent de construire une seule application Q qui est une codérivation à la fois de Δ f et de κ f .…”

Algèbres enveloppantes à homotopie près, homologies et cohomologies

“…Nous retrouvons ainsi des résultats antérieurs (voir [G], [BGHHW] et [AAC2] par exemple) en les complétant, les précisant et les explicitant.…”