Algebraic independence results for the sixteen families of q-series

Elsner, Carsten; Shimomura, Shun; Shiokawa, Iekata; Tachiya, Yohei

doi:10.1007/s11139-010-9235-4

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“…During the last century, a lot of different methods have been established to decide on the algebraic independence of a given set of transcendental numbers, when these numbers belong to particular classes like values of E-functions in the case of Siegel-Shidlovskii. The determinant criterion applied in this thesis is very recent and yet has already led to interesting results (see [21]). More than 20 years after André-Jeannin's result on the irrationality of ζ F (1), ζ * F (1), ζ L (1), and ζ * L (1) we are able to prove algebraic independence results for values of these zeta functions with the help of that determinant criterion.…”

Section: Resultsmentioning

confidence: 99%

“…Analogue procedures for nd 2 (z, k), nc 2 (z, k) and dn 2 (z, k) (see also [21]) reveal for the expansions By 3.14we have the following identities:…”

Section: Expressions Of φ 2smentioning

confidence: 87%

“…Lemma 2.3 provides a method to transcribe the algebraic independence property from one set to another under a certain determinant condition. This lemma goes back to Elsner, Shimomura and Shiokawa and can be found in [21]. Corollary 2.1 of Lemma 2.3 will be the main tool in the proofs of algebraic independence results on subsets of Ω.…”

Section: Algebraic Independence Criteriamentioning

confidence: 90%

“…, n as solutions of a certain polynomial system. Lemma 2.3 (Determinant criterion for algebraic independence, [21]). Let K be a field satisfying Q ⊆ K ⊆ R. Let x 1 , .…”

Section: Proof We Havementioning

confidence: 99%

“…. , x n ∈ C (see [21]). We won't need this criterion in the general case but the following slightly weaker corollary, where we restrict the numbers y 1 , .…”

Section: Proof We Havementioning

confidence: 99%

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Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci and Lucas numbers

Stein¹,

Amou²,

Katsurada³

2011

AIP Conference Proceedings

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In dieser Arbeit untersuchen wir Werte der Fibonacci-Zetafunktion sowie dreier Varianten dieser Funktion für geradzahlige Argumente auf algebraische Unabhängigkeitüber dem Körper Q der rationalen Zahlen. Wir betrachten die unendliche Menge, die aus den Werten dieser vier Funktionen besteht, und geben eine vollständige Klassifikation ihrer Teilmengen inüber Q algebraisch unabhängige und abhängige Mengen an. Dabei bezeichnen wir in natürlicher Weise eine Menge als algebraisch unabhängig beziehungsweise abhängigüber Q, falls die Elemente dieser Menge diese Eigenschaft haben. Die Unabhängigkeitsergebnisse in dieser Arbeit basieren auf einem Satz von Nesterenko aus dem Jahre 1996über die Werte der Ramanujan Funktionen P , Q und R an algebraischen Stellen. Zur Anwendung kommt ferner ein Determinantenkriterium für algebraische Unabhängigkeit, das von Elsner, Shiokawa und Shimomura entwickelt wurde. Dieses Kriterium kam bereits in einer im Jahre 2011 erschienenen Publikation zur Anwendung, um erste allgemeine Resultate zur algebraischen Unabhängigkeit der in dieser Arbeit untersuchten Zahlen zu beweisen. Wir greifen die Methode von Elsner, Shiokawa und Shimomura auf und ergänzen ihre Ergebnisse. Als weiteres Hilfsmittel dienen Laurent-Reihenentwicklungen gewisser Jacobischer elliptischer Funktionen, die in engem Zusammenhang zu den von Ramanujan eingeführten q-Reihen stehen. Dabei werden Identitäten von Zucker (1979) verwendet. Die betrachteten Zetafunktionen lassen sich schließlich als Polynome in drei algebraisch unabhängigen Größen darstellen. Hier spielen vollständige elliptische Integrale eine wesentliche Rolle. Außerdem beweisen wir Ergebnisse zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeitüber Q der in dieser Arbeit betrachteten Zahlen. Abschließend präsentieren wir quantitative Resultate. Wir beweisen ein Lemma, das es gestattet, das Maß für algebraische Unabhängigkeit von einer Zahlenmenge unter gewissen Abschwächungen auf eine andere Menge von Zahlen zuübertragen, wenn die beiden Mengen durch ein quadratisches System von Polynomen verbunden sind. Unter Verwendung eines quantitativen Ergebnisses von Nesterenko aus dem Jahre 1997 leiten wir ein Unabhängigkeitsmaß für die in dieser Arbeit untersuchten Zahlen her.

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Section: Resultsmentioning

confidence: 99%

“…Analogue procedures for nd 2 (z, k), nc 2 (z, k) and dn 2 (z, k) (see also [21]) reveal for the expansions By 3.14we have the following identities:…”

Section: Expressions Of φ 2smentioning

confidence: 87%

Section: Algebraic Independence Criteriamentioning

confidence: 90%

“…, n as solutions of a certain polynomial system. Lemma 2.3 (Determinant criterion for algebraic independence, [21]). Let K be a field satisfying Q ⊆ K ⊆ R. Let x 1 , .…”

Section: Proof We Havementioning

confidence: 99%

“…. , x n ∈ C (see [21]). We won't need this criterion in the general case but the following slightly weaker corollary, where we restrict the numbers y 1 , .…”

Section: Proof We Havementioning

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