Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci and Lucas numbers

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir Werte der Fibonacci-Zetafunktion sowie dreier Varianten dieser Funktion für geradzahlige Argumente auf algebraische Unabhängigkeitüber dem Körper Q der rationalen Zahlen. Wir betrachten die unendliche Menge, die aus den Werten dieser vier Funktionen besteht, und geben eine vollständige Klassifikation ihrer Teilmengen inüber Q algebraisch unabhängige und abhängige Mengen an. Dabei bezeichnen wir in natürlicher Weise eine Menge als algebraisch unabhängig beziehungsweise abhängigüber Q, falls die Elemente dieser Menge diese Eigenschaft haben. Die Unabhängigkeitsergebnisse in dieser Arbeit basieren auf einem Satz von Nesterenko aus dem Jahre 1996über die Werte der Ramanujan Funktionen P , Q und R an algebraischen Stellen. Zur Anwendung kommt ferner ein Determinantenkriterium für algebraische Unabhängigkeit, das von Elsner, Shiokawa und Shimomura entwickelt wurde. Dieses Kriterium kam bereits in einer im Jahre 2011 erschienenen Publikation zur Anwendung, um erste allgemeine Resultate zur algebraischen Unabhängigkeit der in dieser Arbeit untersuchten Zahlen zu beweisen. Wir greifen die Methode von Elsner, Shiokawa und Shimomura auf und ergänzen ihre Ergebnisse. Als weiteres Hilfsmittel dienen Laurent-Reihenentwicklungen gewisser Jacobischer elliptischer Funktionen, die in engem Zusammenhang zu den von Ramanujan eingeführten q-Reihen stehen. Dabei werden Identitäten von Zucker (1979) verwendet. Die betrachteten Zetafunktionen lassen sich schließlich als Polynome in drei algebraisch unabhängigen Größen darstellen. Hier spielen vollständige elliptische Integrale eine wesentliche Rolle. Außerdem beweisen wir Ergebnisse zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeitüber Q der in dieser Arbeit betrachteten Zahlen. Abschließend präsentieren wir quantitative Resultate. Wir beweisen ein Lemma, das es gestattet, das Maß für algebraische Unabhängigkeit von einer Zahlenmenge unter gewissen Abschwächungen auf eine andere Menge von Zahlen zuübertragen, wenn die beiden Mengen durch ein quadratisches System von Polynomen verbunden sind. Unter Verwendung eines quantitativen Ergebnisses von Nesterenko aus dem Jahre 1997 leiten wir ein Unabhängigkeitsmaß für die in dieser Arbeit untersuchten Zahlen her.

On Linear Relations for Dirichlet Series Formed by Recursive Sequences of Second order

“…The main result in M. Stein's Ph.D. thesis [10,Theorem 5.3] generalizes all these investigations to the set…”

“…, m and prove a conjecture of M. Stein on the dimension of the kernel of such forms; see (1.6) and Conjecture 1.1 at the end of this introductory section. For a survey on irrationality, transcendence and algebraic independence results for series involving reciprocal Fibonacci and Lucas numbers, we refer the reader to Sections 1.1 to 1.3 in [10]. Here, we present an outline devoted to the most important interim results which finally lead to the problem treated in this paper.…”

“…Also, 22 classes of three-element subsets are precisely described having the same property. Additionally, it turns out that any four numbers in Ω are algebraically dependent over Q, see [10,Theorem 5.4].…”

“…For the proof of this theorem, we exploit many auxiliary results which are already provided by the theory sketched above for the transcendence and algebraic independence results of the numbers from Ω. All these tools are contained in [10], so that we can always refer the reader to this Ph.D. thesis. The following lines outline the key steps in our proof, and thus the structure of the present paper.…”

“…For a survey on irrationality, transcendence, and algebraic independence results for series involving reciprocal Fibonacci and Lucas numbers, we refer the reader to [9,. Here, we present an outline devoted to the most important interim results which finally led to the problem treated in this paper.…”