Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci numbers

Elsner, Carsten; Shimomura, Shun; Shiokawa, Iekata

doi:10.4064/aa148-3-1

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“…In 2007 Elsner, Shimomura and Shiokawa [16,17,18,19,20] began their joint work on the Fibonacci zeta function…”

Section: Algebraic Independence Resultsmentioning

confidence: 99%

“…In this thesis we study more general problems, which go back to a proposal from Professor Elsner. The main idea is to generalize the results in [20] by using the approach from [17], where actually more general binary recurrences are treated: Let α, β ∈ Q with |β| < 1 and αβ = −1, where Q denotes the field of algebraic numbers over Q. We define the sequences…”

Section: Outline Of This Thesismentioning

confidence: 99%

“…In [17] the authors obtained a more general result for the Fibonacci zeta function at positive even integers. By using a new algebraic independence criterion they proved that for positive integers s 1 < s 2 < s 3 the series ζ F (2s 1 ), ζ F (2s 2 ) and ζ F (2s 3 ) are algebraically independent over Q if and only if at least one of the numbers s i is even.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci and Lucas numbers

Stein¹,

Amou²,

Katsurada³

2011

AIP Conference Proceedings

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In dieser Arbeit untersuchen wir Werte der Fibonacci-Zetafunktion sowie dreier Varianten dieser Funktion für geradzahlige Argumente auf algebraische Unabhängigkeitüber dem Körper Q der rationalen Zahlen. Wir betrachten die unendliche Menge, die aus den Werten dieser vier Funktionen besteht, und geben eine vollständige Klassifikation ihrer Teilmengen inüber Q algebraisch unabhängige und abhängige Mengen an. Dabei bezeichnen wir in natürlicher Weise eine Menge als algebraisch unabhängig beziehungsweise abhängigüber Q, falls die Elemente dieser Menge diese Eigenschaft haben. Die Unabhängigkeitsergebnisse in dieser Arbeit basieren auf einem Satz von Nesterenko aus dem Jahre 1996über die Werte der Ramanujan Funktionen P , Q und R an algebraischen Stellen. Zur Anwendung kommt ferner ein Determinantenkriterium für algebraische Unabhängigkeit, das von Elsner, Shiokawa und Shimomura entwickelt wurde. Dieses Kriterium kam bereits in einer im Jahre 2011 erschienenen Publikation zur Anwendung, um erste allgemeine Resultate zur algebraischen Unabhängigkeit der in dieser Arbeit untersuchten Zahlen zu beweisen. Wir greifen die Methode von Elsner, Shiokawa und Shimomura auf und ergänzen ihre Ergebnisse. Als weiteres Hilfsmittel dienen Laurent-Reihenentwicklungen gewisser Jacobischer elliptischer Funktionen, die in engem Zusammenhang zu den von Ramanujan eingeführten q-Reihen stehen. Dabei werden Identitäten von Zucker (1979) verwendet. Die betrachteten Zetafunktionen lassen sich schließlich als Polynome in drei algebraisch unabhängigen Größen darstellen. Hier spielen vollständige elliptische Integrale eine wesentliche Rolle. Außerdem beweisen wir Ergebnisse zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeitüber Q der in dieser Arbeit betrachteten Zahlen. Abschließend präsentieren wir quantitative Resultate. Wir beweisen ein Lemma, das es gestattet, das Maß für algebraische Unabhängigkeit von einer Zahlenmenge unter gewissen Abschwächungen auf eine andere Menge von Zahlen zuübertragen, wenn die beiden Mengen durch ein quadratisches System von Polynomen verbunden sind. Unter Verwendung eines quantitativen Ergebnisses von Nesterenko aus dem Jahre 1997 leiten wir ein Unabhängigkeitsmaß für die in dieser Arbeit untersuchten Zahlen her.

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“…In 2007 Elsner, Shimomura and Shiokawa [16,17,18,19,20] began their joint work on the Fibonacci zeta function…”

Section: Algebraic Independence Resultsmentioning

confidence: 99%

Section: Outline Of This Thesismentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

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Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci and Lucas numbers

Stein¹,

Amou²,

Katsurada³

2011

AIP Conference Proceedings

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“…We use the following criterion of algebraic independence of numbers, which was proved in [5]. For completeness, a proof of it will be given in the final section.…”

Section: Lemmamentioning

confidence: 99%

A remark on Nesterenko’s theorem for Ramanujan functions

2010

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A correct formulation of the Lion-Rolin Preparation Theorem for logarithmic -subanalytic functions (LA-functions) is given. In [2] Lion and Rolin give an explicit description of functions on R n (n ∈ Z, n > 0), called by them LE-functions, defined as finite compositions of globally subanalytic functions with logarithmic and with exponential functions. This enables them to obtain the fundamental results of van den Dries, Macintyre and Marker [1] without making use of model theory. One important step in their study is their Preparation Theorem for LA-functions. To quote this theorem we first recall some basic definitions from [2]. If F is any family of real functions on R n , a subset E of R n is called an F-set if E = i∈I j∈J E ij where I and J are finite and for each (i, j) ∈ I × J, E ij = {φ ij > 0} or E ij = {φ ij = 0} or E ij = {φ ij < 0}, with some φ ij ∈ F.

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“…In [2] it is shown that the numbers F .2/, F .4/, F .6/ (respectively, L .2/, L .4/, L .6/) are algebraically independent, and that each of F .2s/ (respectively, L .2s/) (s D 4; 5; 6; : : : ) can be written as a rational (respectively, algebraic) function of these three numbers over Q. From the main theorem in [4] it follows that for any positive distinct integers s 1 ; s 2 ; s 3 the numbers F .2s 1 /, F .2s 2 /, and F .2s 3 From the main theorem in [4] it follows that for any positive distinct integers s 1 ; s 2 ; s 3 the numbers F .2s 1 /, F .2s 2 /, and F .2s 3 …”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%