A substitute for the classical Neumann–Morgenstern characteristic function in cooperative differential games

Abstract

In this paper, we present a systematic overview of different endogenous optimization-based characteristic functions and discuss their properties. Furthermore, we define and analyze in detail a new, η-characteristic function. This characteristic function has a substantial advantage over other characteristic functions in that it can be obtained with a minimal computational effort and has a reasonable economic interpretation. In particular, the new characteristic function can be seen as a reduced version of the classical Neumann-Morgenstern characteristic function, where the players both from the coalition and from the complementary coalition use their previously computed strategies instead of solving respective optimization problems. Our finding are illustrated by a pollution control game with n non-identical players. For the considered game, we compute all characteristic functions and compare their properties. Quite surprisingly, it turns out that both the characteristic functions and the resulting cooperative solutions satisfy some symmetry relations.

Cooperative optimality principals in differential games on networks

“…Такие функции легче вычислить или же они обладают некоторыми полезными свойствами. Систематический обзор различных современных подходов в этой области можно найти в [7], [8].…”

Superadditive extension of characteristic functions for cooperative differential games

“…Подробный анализ методов построения характеристической функции, в которых предложены некоторые модификации классического метода Неймана-Моргенштерна [23] (см. [6] для класса дифференциальных игр), позволяющие упростить вычисления для класса дифференциальных игр, приведен в работе [18].…”

“…Данная функция (2.6) по ряду свойств [18] близка к первоначальной α-х.ф. Неймана -Моргенштерна, однако не удовлятворяет свойству (2.4) в общем случае.…”

“…Применение классического подхода, а именно, выбор в качестве характеристической функции нижнего значения игры [23] (в настоящее времяα-характеристической функции), обладающей свойством супераддитивности, приводит к ряду сложностей вычислительного характера, особенно для игр в динамической постановке. Систематизация существующих подходов по упрощению построения характеристической функции, их взаимосвязь и анализ выполнения свойства супераддитивности для α-, β-, γ-, δ-характеристических функций приведена в работах [27], [28] для однократных, а в работах [1], [18] -для класса дифференциальных игр.…”

“…[1] является выполнение свойства супераддитивности в общем случае, в то время как η-х.ф. [18] является некоторым аналогом α-х.ф., вычисляется легче других перечисленных х.ф., но не является супераддитивной. Кроме того, и упомянутая δ-х.ф.…”