A Second Order Superlinear Oscillation Criterion

Abstract

A new oscillation criterion is given for general superlinear ordinary differential equations of second order of the form x″(t)+ a(t)f[x(t)]=0, where a ∈ C([t0∞,)), f∈C(R) with yf(y)>0 for y≠0 and and f is continously differentiable on R-{0} with f'(y)≥0 for all y≠O. In the special case of the differential equation (γ > 1) this criterion leads to an oscillation result due to Wong [9].

Integral Averages and Second Order Superlinear Oscillation

“…Recently, the author [3] presented an extension of wONG's.result to the general case of the differential equation (E). More precisely, the author proved that the conditions (A,) and (A2) are sufficient for the oscillation of (E), provided that f is such that and As it is shown in [3], this result can be applied in some cases in which Theorem 0 cannot be applied and, on the other hand, there exist cases in which Theorem 0 can be applied while the above criterion is not applicable.…”

Ταλαντωση Διαφορικων Εξισωσεων Και Εξισωσεων Διαφορων

“…ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΣ Ο σκοπός μας στο Κεφάλαιο αυτό είναι να δώσουμε ένα νέο κριτήριο ταλάντωσης για υπεργραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με συντελεστές εναλλασσόμενου πρόσημου. Για τέτοιες εξισώσεις έχουν ληφθεί αρκετά κριτήρια ταλάντωσης, τα οποία περιέχουν τη συμπεριφορά του μέσου όρου των ολοκληρωμάτων των εναλλασσόμενου πρόσημου συντελεστών (βλέπε, για παράδειγμα, Butler [13,15], Butler and Erbe [16], Kamenev [42,43], Kwong and Wong [53], Onose [70], Philos [74,75,78,80], και Wong [102][103][104][105][106]108]). Αυτά τα κριτήρια είχαν την αφορμή τους στα κλασσικά κριτήρια του μέσου όρου του Wintner [101] (και στην γενίκευση του από τον Hartman [39,40]) και του Kamenev [44] για την γραμμική περίπτωση.…”

“…Ο Wong [103] lim supf f aOOcfrds = t-*» ι ό l 0 είναι ικανές για την ταλάντωση της (Ε 0 ). Ο Philos [74] γενίκευσε αυτό το συμπέρασμα στη γενική περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης (Ε), αποδεικνύοντας ότι οι συνθήκες (Aj) και (Α 2 ) είναι επίσης ικανές για την ταλάντωση της (Ε) με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f υπόκειται στην εξής υπόθεση:…”

“…Παραπέμπουμε στο άρθρο του Philos [78] για περαιτέρω επεκτάσεις και βελτιώσεις των παραπάνω ταλαντωτικών συμπερασμάτων.Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι συνθήκες (Fj) και (F 2 ) ικανοποιούνται (βλέπε [74,80]) στην ειδική περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης (Ε 0 ). Επιπλέον, αξίζει να αναφέρουμε ότι, όπως διαπιστώθηκε στην [74], η συνθήκη (F 2 ) συνεπάγεται την (Fj). Προσφάτως, ο Wong [107] απέδειξε το ακόλουθο ταλαντωτικό κριτήριο για τη διαφορική εξίσωση (Ε 0 ).…”

“…Ας σημειώσουμε ότι η συνθήκη (F 3 ) συνεπάγεται την (F 2 ) (βλέπε [74]). Επιπλέον, η συνθήκη (Ag) ικανοποιείται όταν οι (Α^ και (Α 4 ) πληρούνται.…”