A new approach for finding a basis for the splitting preconditioner for linear systems from interior point methods

Suñagua, Porfirio; Oliveira, Aurélio Ribeiro Leite de

doi:10.1007/s10589-016-9887-0

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“…, σ (m)} is the indexes set used in an IPM iteration for the SP construction, an advantageous property of this preconditioner is that the same indexes may be reused by several iterations making these iterations much cheaper. The papers [1,5,9,19] study the choice of basic indexes for a preconditioner.…”

Section: Splitting Preconditioner Applied To the Normal Equation Systemmentioning

confidence: 99%

A New Hybrid Preconditioner for the Interior Point Method

Heredia

Castro

Oliveira

2019

Tend. Mat. Apl. Comput.

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This study aims to improve the computation of the search direction in the primal-dual Interior Point Method through preconditioned iterative methods. It is about a hybrid approach that combines the Controlled Cholesky Factorization preconditioner and the Splitting preconditioner. This approach has shown good results, however, in these preconditioners there are factors that reduce their efficiency, such as faults on the diagonal when performing the Cholesky factorization, as well as a demand for excessive memory, among others. Thus, some modifications are proposed in these preconditioners, as well as a new phase change, in order toimprove the performance of the hybrid preconditioner. In the Controlled Cholesky Factorization, the parameters that control the filling and the correction of the faults which occur on the diagonal are modified. It considers the relationship between the components from Controlled Cholesky Factorization obtained before and after the fault on the diagonal. In the Splitting preconditioner, in turn, a sparse base is constructed through an appropriate ordering of the columns from constrained matrix optimization problem. In addition, a theoretical result is presented, which shows that, with the proposed ordering, the condition number of the preconditioned Normal Equation matrix with the Splitting preconditioner is uniformly limited by an amount that depends only on the original data of the problem and not on the iteration of the Interior Point Method. Numerical experiments with large scale problems, corroborate the robustness and computational efficiency from this approach.

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Section: Splitting Preconditioner Applied To the Normal Equation Systemmentioning

confidence: 99%

A New Hybrid Preconditioner for the Interior Point Method

Heredia

Castro

Oliveira

2019

Tend. Mat. Apl. Comput.

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“…A abordagem híbrida de precondicionamento se mostrou uma ferramenta bastante útil para a resolução de sistemas lineares oriundos do método de pontos interiores, os quais são resolvidos pelo método iterativo do gradiente conjugado. Isto pode ser visto conforme os resultados apresentados nos trabalhos em (BOCANEGRA, 2005b;GHIDINI;OLIVEIRA;SORENSEN, 2014;SUÑAGUA;OLIVEIRA, 2016;BARTMEYER, 2016), dentre outros. Esta estratégia consiste em combinar dois ou mais precondicionadores distintos com intuito de melhorar a eficiência do método iterativo.…”

Section: Abordagem Híbrida De Precondicionamentounclassified

Aperfeiçoamento da abordagem híbrida de precondicionamento para métodos de pontos interiores

Madrid¹

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Ao meu pai, irmãs e irmão pelo amor e carinho imensurável que desde a distância me proporcionaram em todo momento.Ao Hector Flores pelo sua amizade, apoio incondicional, sugestões e críticas construtivas.Aos meus amigos, que de uma forma ou outra contribuíram com seu apoio, experiências pessoais e profissionais.Ao IMECC por ser um centro de excelência para o mundo inteiro. Além disso, por contar com uma ótima estrutura de trabalho.À PEC-PG, CAPES e SAE pelo auxílio financeiro.À Banca Examinadora pelas críticas, sugestões e disponibilidade ao avaliar este trabalho.A Deus, pela vida, saúde, família, amigos e perseverança. ResumoA etapa mais importante do método de pontos interiores preditor-corretor para solução de problemas de programação linear de grande porte, consiste em resolver sistemas de equações lineares para determinar as direções de busca. Esse é o passo que requer maior esforço computacional do método e, dessa forma, é fundamental realizá-lo da maneira mais eficiente possível. Uma abordagem que pode ser utilizada consiste em reduzir o sistema linear em um sistema de equações normais equivalente, cuja matriz é simétrica e definida positiva e aplicar o método iterativo dos gradientes conjugados precondicionado para resolvê-lo. Encontrar um único precondicionador que funcione bem em todas iterações do método preditor-corretor não é uma tarefa simples, pois os sistemas vão se tornando cada vez mais mal condicionados. Na literatura, foi proposta uma abordagem híbrida de precondicionamento que combina dois precondicionadores, a qual apresentou bons resultados e que consiste em nas primeiras iterações do preditor-corretor utilizar o precondicionador Fatoração Controlada de Cholesky e depois de certo número de iterações realizar a troca e o precondicionador Separador passa a ser utilizado. Algumas heurísticas simples para determinar o momento ideal para trocar de precondicionador já foram desenvolvidas. Porém, motivados pela importância dessa etapa, desenvolvemos e testamos novas heurísticas que utilizam estimativas do número de condição da matriz do sistema, uma vez que calcular o valor exato para matrizes de grande porte é caro computacionalmente e torna-se inviável na prática, e análise da dispersão dos autovalores da matriz. Além disso, com o intuito de proporcionar outras melhorias para a abordagem híbrida de precondicionamento e, consequentemente, obter um método de pontos interiores ainda mais eficiente e robusto, a densidade da matriz é usada como critério para a atualização do parâmetro de preenchimento utilizado na Fatoração Controlada de Cholesky. Diversos experimentos computacionais foram realizados com problemas pertencentes à coleções com acesso livre para testar todas as heurísticas desenvolvidas e compará-las com as existentes. De acordo com os resultados obtidos podemos afirmar que os objetivos deste trabalho foram alcançados, uma vez que algumas das heurísticas propostas contribuíram para determinar um melhor momento de trocar de precondicionador e tornaram o precondicionador Fatoração Control...

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