Aperfeiçoamento da abordagem híbrida de precondicionamento para métodos de pontos interiores

Abstract

Ao meu pai, irmãs e irmão pelo amor e carinho imensurável que desde a distância me proporcionaram em todo momento.Ao Hector Flores pelo sua amizade, apoio incondicional, sugestões e críticas construtivas.Aos meus amigos, que de uma forma ou outra contribuíram com seu apoio, experiências pessoais e profissionais.Ao IMECC por ser um centro de excelência para o mundo inteiro. Além disso, por contar com uma ótima estrutura de trabalho.À PEC-PG, CAPES e SAE pelo auxílio financeiro.À Banca Examinadora pelas críticas, sugestões e disponibilidade ao avaliar este trabalho.A Deus, pela vida, saúde, família, amigos e perseverança. ResumoA etapa mais importante do método de pontos interiores preditor-corretor para solução de problemas de programação linear de grande porte, consiste em resolver sistemas de equações lineares para determinar as direções de busca. Esse é o passo que requer maior esforço computacional do método e, dessa forma, é fundamental realizá-lo da maneira mais eficiente possível. Uma abordagem que pode ser utilizada consiste em reduzir o sistema linear em um sistema de equações normais equivalente, cuja matriz é simétrica e definida positiva e aplicar o método iterativo dos gradientes conjugados precondicionado para resolvê-lo. Encontrar um único precondicionador que funcione bem em todas iterações do método preditor-corretor não é uma tarefa simples, pois os sistemas vão se tornando cada vez mais mal condicionados. Na literatura, foi proposta uma abordagem híbrida de precondicionamento que combina dois precondicionadores, a qual apresentou bons resultados e que consiste em nas primeiras iterações do preditor-corretor utilizar o precondicionador Fatoração Controlada de Cholesky e depois de certo número de iterações realizar a troca e o precondicionador Separador passa a ser utilizado. Algumas heurísticas simples para determinar o momento ideal para trocar de precondicionador já foram desenvolvidas. Porém, motivados pela importância dessa etapa, desenvolvemos e testamos novas heurísticas que utilizam estimativas do número de condição da matriz do sistema, uma vez que calcular o valor exato para matrizes de grande porte é caro computacionalmente e torna-se inviável na prática, e análise da dispersão dos autovalores da matriz. Além disso, com o intuito de proporcionar outras melhorias para a abordagem híbrida de precondicionamento e, consequentemente, obter um método de pontos interiores ainda mais eficiente e robusto, a densidade da matriz é usada como critério para a atualização do parâmetro de preenchimento utilizado na Fatoração Controlada de Cholesky. Diversos experimentos computacionais foram realizados com problemas pertencentes à coleções com acesso livre para testar todas as heurísticas desenvolvidas e compará-las com as existentes. De acordo com os resultados obtidos podemos afirmar que os objetivos deste trabalho foram alcançados, uma vez que algumas das heurísticas propostas contribuíram para determinar um melhor momento de trocar de precondicionador e tornaram o precondicionador Fatoração Control...