A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms

Strichartz, Robert S.

doi:10.1142/5314

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“…conhecida na literatura como pente de Dirac [11][12][13], pois as sucessões de impulsos no tempo fazem lembrar os dentes de um pente, como representada na Figura (2). A aproximação considerada (t→0 em cada um dos n pulsos) será cada vez melhor quanto menor for o tempo de contato do agente externo comparado ao período de oscilação do balanço.…”

Section: Aplicaçãounclassified

Oscilador forçado por um pente de Dirac: uma aplicação da transformada de Fourier-Mellin

Dutra

Ribeiro

Porto

2018

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Neste trabalho exploramos a técnica da transformada de Laplace inversa, conhecida como transformada de Fourier-Mellin, para solucionar, de forma direta e rigorosa, o problema de um sistema que oscila sob a ação de uma força externa periódica. Também propomos um modelo em que essa força externa é descrita por uma sucessão de deltas de Dirac, uma estrutura conhecida na literatura como pente de Dirac. Esse modelo é adequado para descrever o problema clássico de uma criança sendo impulsionada em um balanço, usualmente descrito em termos de uma força externa senoidal. Indicamos nosso modelo de oscilador forçado como mais realista na descrição desse tipo de problema por considerar a atuação da força externa apenas no intervalo que corresponde ao tempo de contato entre a criança e o agente externo que realiza a força, intervalo esse que tende a zero. O principal resultado deste trabalho foi obtido no regime de ressonância, no qual a potência média transferida ao sistema apresentou uma série de picos, associados aos múltiplos inteiros da frequência natural de oscilação, diferente do que ocorre no caso ordinário, em que a força externa é descrita por uma função trigonométrica. Palavras-chave: Mecânica clássica; Transformada de Fourier-Mellin; Oscilações forçadas.In this work we explore the technique of the inverse of the Laplace transform, which is known as the FourierMellin transform, to solve, in a direct and rigorous way, the problem of a system that oscillates under the action of a periodic external force. We also present a model in which the external force is described in terms of a sequence of Dirac deltas. This model is pertinent to describe the classical problem of a child boosted in a park swing, usually described in terms of a sinusoidal function. We indicate our forced oscillator model as more realistic to the description of this kind of problem as it considers the action of the external force only during the very small time interval of contact between the child and the agent that applies the force. The principal result of this paper were obtained in the resonance regime, in which the average power transferred to the system presented a series of peaks, corresponding to the entire multiples of the natural frequency of oscillation, in contrast to what is obtained in the ordinary case in which the external force is described by a trigonometric function. Keywords: Classical mechanics; Fourier-Mellin transform; Forced oscillations. IntroduçãoA partir das leis fundamentais da dinâmica estabelecidas por Isaac Newton em fins do século XVII é possível obter de forma determinística as grandezas físicas, tais como posição, velocidade e aceleração, associadas ao movimento de corpos que possuam dimensões relativamente grandes, comparadas às dimensões da escala atômica e molecular, e que se locomovam a velocidades relativamente baixas, comparadas à da luz. De forma específica, a aplicação da segunda lei de Newton na descrição do movimento de um corpo de massa m submetido à ação de forças externas resulta em uma equação dife...

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Section: Aplicaçãounclassified

Oscilador forçado por um pente de Dirac: uma aplicação da transformada de Fourier-Mellin

Dutra

Ribeiro

Porto

2018

Rev. Bras. Ensino Fís.

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“…This definition using a convolution is associated with a very wellestablished mathematical background (convolutions in L 1 (R n ) and L 2 (R n ), distributions, Fourier transforms), for which it is relatively easy to extract physically relevant properties, in particular regarding the smoothness of the average fields (see for instance in Schwartz (1978), Gray et al (1993), Strichartz (1994)). …”

Section: Definition Of the Generalized Averagementioning

confidence: 99%

Technical Notes on Volume Averaging in Porous Media I: How to Choose a Spatial Averaging Operator for Periodic and Quasiperiodic Structures

Davit

Quintard

2017

Transp Porous Med

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OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible. Abstract This paper is a first of a series aiming at revisiting technical aspects of the volume averaging theory. Here, we discuss the choice of the spatial averaging operator for periodic and quasiperiodic structures. We show that spatial averaging must be defined in terms of a convolution and analyze the properties of a variety of kernels, with a particular focus on the smoothness of average fields, the ability to attenuate geometrical fluctuations, Taylor series expansions, averaging of periodic fields and resilience to perturbations of periodicity. We conclude with a set of recommendations regarding kernels to use in the volume averaging theory.

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“…However, this apparent contradiction vanishes when the momenta are considered in the sense of distributions, i.e., generalized functions describing the physics. This may be shown by using the Fourier transform property of distributions [21] …”

Section: Appendix a Metasurface-field Local Interaction In Space Andmentioning

confidence: 99%

METASURFACE SYNTHESIS FOR TIME-HARMONIC WAVES: EXACT SPECTRAL AND SPATIAL METHODS (Invited Paper)

Salem¹,

Achouri²,

Caloz³

2014

PIER

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Abstract-Two exact approaches to synthesize metasurfaces for time-harmonic waves are discussed. The first approach is a spectral approach based on wave momentum conservation. Here, the spectral approach is applied to scalar and paraxial wave transformations. This approach effectively allows the arbitrary translation of the transformation plane parallel to the metasurface. The second approach is a direct-space approach based on the extraction of the susceptibility tensors of the metasurface elements. This approach is applied to vectorial field transformation and can be used for single or multiple transformations. An example of wave transformation by a metasurface is illustrated for each of the two approaches.

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A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms

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Oscilador forçado por um pente de Dirac: uma aplicação da transformada de Fourier-Mellin

Oscilador forçado por um pente de Dirac: uma aplicação da transformada de Fourier-Mellin

Technical Notes on Volume Averaging in Porous Media I: How to Choose a Spatial Averaging Operator for Periodic and Quasiperiodic Structures

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