A formulation and implementation of geometrically exact curved beam elements incorporating finite strains and finite rotations

Abstract

This paper deals with the formulation and implementation of the curved beam elements based on the geometrically exact curved/twisted beam theory assuming that the beam cross-section remains rigid. The summarized beam theory is used for the slender beams or rods. Along with the beam theory, some basic concepts associated with finite rotations and their parametrizations are briefly summarized. In terms of a non-vectorial parametrization of finite rotations under spatial descriptions, a formulation is given for the virtual work equations that leads to the load residual and tangential stiffness operators. Taking the advantage of the simplicity in formulation and clear classical meanings of both rotations and moments, the non-vectorial parametrization is applied to implement a four-noded 3-D curved beam element, in which the compound rotation is represented by the unit quaternion and the incremental rotation is parametrized using the incremental rotation vector. Only static problems are considered. Conventional Lagrangian interpolation functions are adopted to approximate both the reference curve and incremental rotation of the deformed beam. Reduced integration is used to overcome locking problems. The finite element equations are developed for static structural analyses, including deformations, stress resultants/couples, and linearized/nonlinear bifurcation buckling, as well as post-buckling analyses of arches subjected to different types of loads, such as self-weight, snow, and pressure (wind) loads. Several examples are used to test the formulation and its Fortran implementation.

Dual extremum principles for geometrically exact finite strain beams

“…Since these pioneering works, considerable progress has been made on the geometrically exact analysis of three-dimensional framed structures, from both theoretical and numerical points of view, see e.g. Cardona and Géradin (1988) [6], Ibrahimbegovic and co-workers (1995,2000,2003) [16,19,18,17], Petrov and Géradin (1998) [31], Saje et al (1998) [36], [7,22], Gruttmann et al (2000) [15], Atluri and co-workers (1988,1989,1996,1998,2001) [20,21,33,2], Betsch and Steinmann (2002) [3], Pimenta and Campello (2003) [32], Zupan and Saje (2003) [50], [24,23], Mata et al (2007) [27], Makinen (2007) [26], Santos et al (2009) [38,37] and many others.…”

Formulación material y espacial del modelo geometricamente exacto de piezas alargadas

“…Sin embargo, la parte más delicada de la linealización, aquella que tiene que ver con la parte geométrica del operador, es la menos desarrollada en su artículo. Esta cuestión tampoco es tratada con más detalle en aportaciones posteriores;únicamente Kapania y Li [34] desarrollan con detalle este cálculo, aunque prescinden de la segunda variación de las variables de la configuración. Todas las referencias consultadas fundamentan la discretización en la forma espacial del operador.…”

“…Estado del Arte resulta confusa 5 puesto que Λ denota un elemento del grupo de las rotaciones, independientemente de cuál sea la parametrización escogida para representarlo. Kapania y Li (2003) [34] han empleado también la expresión parametrización no-vectorial.…”

“…Más adelante, junto con Taylor (2002) [28] trabaja con la parametrización local y la versión simétrica del operador tangente de Simó, basándose en la justificación recogida en [59]; en su artículo proponen un interesante procedimiento de actualización de las rotaciones empleando exclusivamente cuaterniones que emplearemos en nuestro desarrollo. Kapania y Li (2003) [34] también emplean la metodología de Simó para desarrollar un elemento curvo de 4 nodos.…”

“…El cálculo del operador tangente es uno de los aspectos cruciales de la tesis doctoral, pues el resultado que obtenemos en este capítulo no coincide con el clásico, contenido en [62], ni con otros recogidos en la literatura como Cardona y Geradin (1988) [11], Ibrahimbegović (1995) [25], o más recientemente Kapania y Li (2003) [34], que reproducen el resultado de Simó y su colaborador. El motivo de la discrepancia se encuentra en el proceso de evaluación de la derivada direccional de la ecuación de trabajos virtuales, y más concretamente del trabajo virtual de las fuerzas internas.…”