Formulación material y espacial del modelo geometricamente exacto de piezas alargadas

Abstract

A Juliane, Sara y Adrián ResumenEl análisis de la respuesta mecánica de piezas alargadas que experimentan grandes desplazamientos y rotaciones constituye un campo en el que se han producido avances significativos en las tresúltimas décadas, tanto desde el punto de vista de la formulación de modelos físicos como de la búsqueda de soluciones numéricas. Eĺ ambito de aplicación de este tipo de modelos se separa quizás del abanico de problemas de los que tradicionalmente se ha ocupado la ingeniería civil, aproximándose más a situaciones propias de otras disciplinas, como la aeronáutica, la robótica o la biomecánica.Dentro de la variedad de modelos en una dimensión desarrollados para el análi-sis no lineal de piezas alargadas, el propuesto por Simó como extensión del trabajo de Reissner es capaz de reproducir rotaciones arbitrariamente grandes de las secciones transversales. Su sencillez conceptual y la potencia de las soluciones numéricas basadas enél lo han convertido en referencia obligada y punto de partida de muchas investigaciones recientes. El propio Simó introdujo la denominación de modelo geométricamente exacto de piezas alargadas para referirse aél. No obstante, el modelo de Reissner-Simó no está libre de dificultades.Éstas derivan principalmente del tratamiento exacto de las rotaciones, que exige trabajar en un espacio de configuraciones no lineal ni conmutativo.Esta tesis examina los fundamentos del modelo geométricamente exacto y su conexión con la teoría no lineal de la elasticidad. La relación entre variables materiales y espaciales a través de la transformación definida por la rotación de cada sección establece el método de análisis. En un primer paso se ha desarrollado completamente la cinemática del modelo y las ecuaciones de campo en sus dos facetas -material y espacial-, lo que ha permitido sistematizar el proceso deductivo y aportar algunos resultados teóricos novedosos. El análisis del problema desde el punto de vista variacional ha puesto de manifiesto las conexiones formales entre las ecuaciones de la estática de las piezas alargadas y las ecuaciones de la dinámica de sólidos rígidos, y ha conducido a actualizar y generalizar la analogía cinética de Kirchhoff empleando el lenguaje moderno de la mecánica clásica.Como paso previo al desarrollo de soluciones numéricas se ha deducido la expresión espacial del operador tangente a partir de la linealización consistente de la ecuación de trabajos virtuales. Cuando este proceso se lleva a cabo antes de la discretización da lugar a la aparición de nuevos términos adicionales en el operador, aunque su influencia en los resultados numéricos ha resultado ser despreciable. También se ha deducido la forma material del operador, aún no publicada. El hecho de que las expresiones del operador tangente sean independientes de la parametrización escogida para la descripción de las rotaciones constituye un aspecto destacado de la formulación empleada.i La parte final de la tesis se centra en la solución numérica del modelo. En una primera etapa se ha desarrollado u...