A Commutative Model of a Representation of the Group O(n, 1)X and a Generalized Lebesgue Measure in the Space of Distributions

Abstract

For an irreducible unitary representation of an O(n, 1) current group, we consider a commutative model obtained by diagonalization with respect to a maximal unipotent subgroup. This model leads to a new measure on the space of distributions. The measure is invariant with respect to an infinite-dimensional linear symmetry group.

Does there exist a lebesgue measure in the infinite-dimensional space?

“…An analog of the measure L θ in the case n > 1 was defined in [17,18] by analogy with the case n = 1. First, we define the vector gamma process with characteristic functional…”

“…The items 1-3 are proved as in Sections 3-4 for n = 1. As to the proof of item 4, see [17,18]. We only note that the action of the subgroup of the commutative unipotent currents is realized by the operators of the multiplication of the functionals h(•) ∈ L 2 by the exponent of a linear functional.…”

Анатолий Моисеевич Вершик (К Восьмидесятилетию Со Дня Рождения)

“…Одним из главных направлений исследований А. М. Вершика оставалась теория представлений. Длинный цикл его работ с М. И. Граевым [203], [204], [210], [229], [230], [239], [249], [252], [257] продолжает направление, начатое известной статьей [26] 2 об унитарных представлениях группы измеримых токов SL(2, R) X . Новым в этих работах является изучение реализации представлений, основанной на так называемой бесконечномерной мере Лебега L. Мера L связана с распределениями Пуассона-Дирихле и является замечательным примером сигма-конечной меры с бесконечномерной группой симметрий.…”

Марк Иосифович Граев (К 85-Летию Со Дня Рождения)

“…В последние годы (2004-2007) М. И. совместно с А. М. Вершиком продолжил занятия теорией представлений групп токов [170]- [172]. Оказалось, что на результаты работ [65], [100] можно посмотреть с новой точки зрения, а именно строить сначала представления максимальных параболических подгрупп токов, диагонализуя их относительно максимальной унипотентной подгруппы и продолжая затем представление на всю группу.…”