Transmission and Reflection Coefficients by the Variable Amplitude Method

Abstract

Recebido em 22/10/2015; aceito em 28/01/2016; publicado na web em 12/04/2016 TRANSMISSION AND REFLECTION COEFFICIENTS BY THE VARIABLE AMPLITUDE METHOD. In this work, a simple derivation of the variable amplitude method using the variation of parameters to solve a differential equation is presented. The variable amplitude method was originally devised by Tikochinsky in 1977, using the quantum theory of scattering. The method is applied to two model potentials, the rectangular potential barrier and the Eckart potential, both with analytical solutions for the reflection coefficient. Numerical results will be compared with the exact values for several energies. The problem of calculating the reflection coefficient, usually involving extensive algebra as described in several textbooks, is reduced to solving a first order differential equation with initial condition. The method is very simple to apply, representing an attractive tool for teaching introductory quantum mechanics. A simple computer code is available from which reflection coefficients for the Eckart potential can be calculated.Keywords: transmission coefficient; quantum tunneling; variation of parameters. INTRODUÇÃONo estudo do movimento unidimensional de uma partícula de massa m e energia E, existem duas perspectivas: tratar o problema do ponto de vista da mecânica clássica ou de acordo com a mecânica quântica. No tratamento clássico, quando não ocorre perdas de energia de qualquer forma, a partícula fica presa a uma região do espaço x, tal que sua energia potencial V(x) é sempre menor ou igual a E. Em outras palavras, a energia total é conservada, V(x)+mv 2 /2=E. Este é um dos aspectos mais fascinantes que distingue a mecânica quântica da mecânica clássica. Na teoria quântica o estado da partícula é representado por uma função y (x) obtida pela solução da equação de Schrödinger, cujo módulo ao quadrado |y (x)| 2 dx é interpretado como a probabilidade de encontrar a partícula na região x+dx. Neste caso, como a função é espalhada além do limite x 0 , em que x 0 satisfaz a relação V(x 0 )=E, existe uma probabilidade finita de que uma partícula com energia total E penetre em uma região do espaço onde a energia total é menor que a energia potencial V(x).O processo, conhecido como tunelamento quântico, é de extrema relevância para explicação de várias fenômenos físicos e químicos, como o decaimento alfa, 1,2 a emissão de elétrons por metais frios sob a influência de um campo forte, 3 reações de transferência de hidrogênio, fundamentais para a compreensão do efeito isotópico cinético H/D, 4,5 mecanismos de transferência de elétrons 6,7 e inversão espectral. 8,9 Além disso, o tunelamento quântico é de importância para a fabricação de novos semicondutores e dispositivos eletrônicos. 10A compreensão das propriedades físicas dos sistemas requer em muitos casos a avaliação da equação unidimensional de Schrödinger para um potencial específico. No entanto, soluções analíticas são limitadas a potenciais modelos, que embora sejam úteis para a análise da situação física...

Application of the Method of Phase-Amplitude Functions in X-Ray and Neutron Reflectometries

“…The authors of [21] proposed the use of an analogous condition, although direct application to reflectometric problems was not considered there.…”