A Prelude to the Fractional Calculus Applied to Tumor Dynamic

Abstract

ABSTRACT. In order to refine the solution given by the classical logistic equation and extend its range of applications in the study of tumor dynamics, we propose and solve a generalization of this equation, using the so-called Fractional Calculus, i.e., we replace the ordinary derivative of order 1, in one version of the usual equation, by a non-integer derivative of order 0 < α ≤ 1, and recover the classical solution as a particular case. Finally, we analyze the applicability of this model to describe the growth of cancer tumors.

Equação Diferencial de Bernoulli Fracionária

“…O par de transformadas de Laplace da função de Mittag-Leffler com dois parâmetroś e dada por [7,13]:…”

“…E importante ressaltar que, embora no caso inteiro a equivalência entre as soluções das equações (7) e (8) seja elementar o mesmo não pode ser dito das versões fracionárias, uma vez que a regra de Leibnitz nãoé trivial para o cálculo fracionário [3,13]. De fato, para a exposição deste trabalho pretende-se apresentar exemplos numéricos para tentar estimar e discutir com os presentes em que medida a solução da equação (10) recupera a solução da equação (9).…”

“…6 Na referência [13] foi mostrado, através da metodologia da transformada de Laplace que a solução desta equaçãoé dada por…”

“…Concluímos esta seção mostrando o comportamento gráfico do inverso da solução da equação (15), para diferentes valores de α. Observa-se que, a medida que a ordem da derivada diminui o tempo necessário para atingir o valor de suporte aumenta, o que torna este modelo conveniente para, por exemplo, modelar o crescimento de tumores de câncer em regiões pouco vascularizadas [13].…”

Modelos Clássicos e Fracionários de Gompertz e Bertalanffy

“…As aplicações desses dois modelos são imensas, por exemplo, o modelo de Gompertz descreve crescimento de animais, de tumores cristalino dos olhos humano [3,6,8]. Enquanto, o modelo de Bertalanffyé utilizado para descrever crescimento de suíno para cortes, crescimento de animais e temos que em 70% dos casos de sarcoma em ratos analisados em [7]é possível descrever o volume do tumor por esse modelo.…”