Grafos que geram emparelhamento de arestas relacionados à Tesselação $\{12g-6, 3\}$

Abstract

RESUMO.O objetivo deste trabalhoé por meio de grafos trivalentes obter emparelhamentos de arestas para polígonos hiperbólicos regulares conduzindo a superfícies de Riemann orientadas e compactas. Neste trabalho, apresenta-se um procedimento para a obtenção de três casos de emparelhamentos generalizados relacionadosà tesselação {12g − 6, 3}.Palavras-chave: geometria hiperbólica, emparelhamento de arestas, polígonos, grafos, superfícies, tesselação. INTRODUÇÃOA principal contribuição deste trabalho está relacionadaà apresentação de uma forma sistemática de obtenção de emparelhamentos de arestas de polígonos hiperbólicos regulares via grafos conduzindo a superfícies de Riemann orientadas e compactas. Em outras palavras, obtemos via grafos trivalentes, emparelhamentos para polígonos hiperbólicos regulares com 12g − 6 arestas eângulos iguais a 2π/3, no caso em que o quociente do plano hiperbólico por um grupo Fuchsiano (gerado pelo emparelhamento do polígono),,é uma superfície compacta, orientável, de gênero g, g ≥ 2. Assim, esses polígonos estão associados a tesselação {12g − 6, 3}.Uma das motivações para o estudo de emparelhamento de arestas de polígonos hiperbólicos que estão associadosà tesselação {12g − 6, 3}é que tais tesselações fornecem empacotamentos de esferas com densidade máxima ([3] e [1]) e, portanto, estão relacionadas com a construção de códigosótimos cuja probabilidade de erroé mínima, [2]. Um apanhado bibliográfico relacionado a tesselações e códigos pode ser encontrado na introdução do trabalho [12].Em [6], Jorgensen-Naatanen fizeram o estudo para o caso de g = 2, mostraram que, a menos de reflexão, existem 8 formas diferentes de emparelhamento de arestas de um polígono fundamental

Grafos Associados aos Emparelhamentos de Arestas de Polígonos Regulares

“…Em [2], foram determinadas algumas famílias de grafos trivalentes associados a emparelhamentos de arestas em superfícies com gênero g > 3. Em [4], foram introduzidas duas cirurgias de emparelhamentos com grafos trivalentes, S 1 e S 2 (ver Figura 12), para determinar novos grafos de emparelhamentos para superfícies com gênero predeterminado.…”

“…Para o tritoro, Nakamura mostrou em [8] que existem 65 grafos trivalentes associados a 927 diferentes emparelhamentos do polígono regular com 30 lados. Esses grafos de emparelhamentos trivalentes podem estar relacionados à tesselac ¸ão {12g − 6, 3} (ver [1, 4, 5]).Em [2], foram determinadas algumas famílias de grafos trivalentes associados a emparelhamentos de arestas em superfícies com gênero g > 3. Em [4], foram introduzidas duas cirurgias de emparelhamentos com grafos trivalentes, S 1 e S 2 (ver Figura 12), para determinar novos grafos de emparelhamentos para superfícies com gênero predeterminado.…”