Transição de fase no sistema de Hénon-Heiles

Abstract

O sistema de Hénon-Heiles foi proposto inicialmente para descrever o comportamento dinâmico de galáxias, mas tem sido amplamente aplicado em sistemas dinâmicos por exibir riqueza de detalhes no espaço de fases. O formalismo e a dinâmica do sistema de Hénon Heiles são investigados neste trabalho, visando uma abordagem qualitativa. Através das Seções de Poincaré, observa-se o crescimento da região caótica no espaço de fases do sistema, quando a energia total aumenta. Ilhas de regularidade permanecem em torno dos pontos estáveis e aparecem fenômenos importantes para a dinâmica, como os "sticky". Palavras-chave: sistemas hamiltonianos, sistema de Hénon-Heiles,órbitas periódicas.The Hénon-Heiles system was originally proposed to describe the dynamical behavior of galaxies, but this system has been widely applied in dynamical systems as it displays many details in phase space. This work presents the formalism to describe the Hénon-Heiles system and a qualitative approach to the dynamical behavior. The growth of the chaotic region in phase space is observed by Poincaré Surface Sections, as the total energy increases. Islands of regularity remain around stable points and there are relevant sticky phenomena. Keywords: Hamiltonian systems, Hénon-Heiles system, periodic orbits. IntroduçãoEm 1964, Michel Hénon e Carl Heiles [1] investigaram a existência de integrais de movimento para um sistema Hamiltoniano particular, que hojeé conhecido como sistema de Hénon-Heiles. Este sistema havia sido proposto para descrever o movimento de galáxias interagindo via força gravitacional. Hénon e Heiles mostraram que a energia total e o momento angular do sistema são constantes de movimento, ou seja, que estas grandezas permanecem inalteradas ao longo da evolução temporal do sistema.O sistema de Hénon-Heiles tem sido amplamente estudado e revela importantes características dos sistemas Hamiltonianos, como o comportamento misto do espaço de fases, no qual apresenta simultaneamente ilhas de regularidade e regiões caóticas. Esse tipo de sistema pode favorecer o fenômeno de transporte [2,3] e mostrar pistas importantes para o estudo deórbitas periódicas estáveis e instáveis.Baseados no trabalho de Hénon e Heiles, analisaremos em detalhe a dinâmica desse sistema. Busca-se descrever o sistema analiticamente através do formalismo Hamiltoniano. As características e o comportamento dinâmico do sistema no espaço de fases são estudados aravés das seções de Poincaré. Na seção 2.é feita uma breve introdução ao formalismo Hamiltoniano. Na seção 3. encontra-se a descrição analítica do sistema de Hénon-Heiles, bem como as suas equações de movimento. Na seção 4. faz-se a análise das transições de fase do sistema. Na seção 5. as conclusões do trabalho e os agradecimentos. Sistemas hamiltonianosOs sistemas dinâmicos podem ser divididos em conservativos e dissipativos. Os sistemas conservativos mantém sua energia constante a medida que o tempo evolui e são chamados de Hamiltonianos. Os sistemas dissipativos não conservam sua energia ao longo do tempo.Um sis...

Reação da termosfera a tempestades geomagnéticas

“…Apesar da ionosfera e parte da termosfera compartilharem a mesma região da atmosfera, tais regiões são energizadas e movimentadas por fontes diferentes [43]. Entretanto, a ionosferaé acoplada mecanicamenteà termosfera através de colisões entre partículas neutras e ionizadas [12]. Os efeitos desse acoplamento ionosfera-termosfera (IT) são altamente amplificados durante tempestades geomagnéticas, os quais serão discutidos a seguir, e um exemplo de um evento será apresentado na seção 3.…”

“…Quando o plasma proveniente do vento solaré energizado pela magnetosfera e penetra o sistema IT, energia e momentum são transferidosàs partículas neutras na termosfera. Assim, esse processo de ionização aumenta a condutividade da ionosfera que por sua vez facilita o processo de condução de correntes elétricas que produzem o efeito Joule [12]. Tal efeito desencadeia o aquecimento das partículas neutras e a expansão da termosfera [45].…”

“…Esse processoé denominado reconexão magnética [10], o qual favorece a entrada de energia eletromagnética no sistema magnetosfera-ionosfera-termosfera (MIT). Os resultados mais comuns dessas interações são as tempestades e sub-tempestades geomagnéticas [5,7,11], auroras boreais e austrais [5,7], correntes elétricas alinhadas ao campo magnético [12], entre outros. Em geral, a intensidade de atividade geomagnética varia de acordo com o ciclo solar.…”

Mecânica celeste e a teoria dos sistemas dinâmicos: uma revisão do problema circular restrito de três corpos

“…Para analisar o efeito, uma vantajosa construçãoé feita para a dinâmica do PCR3C próximo de L 4 , cuja energiaé calculada pela expressão (11). Para esta energia total, em especial,é possível se prever para quais valores de massa reduzida µ = µ s uma ressonância aparecerá associadà a frequência s, dada em (16).…”

“…O algoritmo empregue, escrito em C++, utiliza o método de Runge-Kutta de quarta ordem para realizar integração numérica. A seção de Poincaréé mapeada segundo o método desenvolvido por Henon [11]. Além disso, a saída dos dados e entradas para realizar as simulações foram feitas com OpenGL.…”