Mecânica celeste e a teoria dos sistemas dinâmicos: uma revisão do problema circular restrito de três corpos

Abstract

Neste trabalho abordamos uma aproximação para o problema de três corpos que interagem mutuamente por atração gravitacional, denominada problema circular restrito de três corpos (PCR3C). Tal aproximaçãoé revisada a partir do formalismo e de conceitos da teoria dos sistemas dinâmicos, enfocando fenômenos de ressonância, representações em espaços de fase, mapas de Poincaré e o Teorema KAM. Discutimos aspectos matemáticos de estabilidade do problema, seus pontos de equilíbrio -pontos Lagrangeanos -e como a condição de integrabilidade se aplica. Resultados de simulações computacionais que desenvolvemos são analisados e algumas aplicações são apresentadas, por exemplo, no que se refereà presença de regiões de comportamento caótico na seção de Poincaré, correlacionadas diretamente a vacâncias em cinturões de asteroides e nos anéis dos planetas gasosos do nosso sistema solar, bem como a possíveis transferências orbitais com menor custo energético. Palavras-chave: problema de três corpos, teoria de sistemas dinâmicos, simulações, estabilidade.In this work we present the approximation of the circular restricted three-body problem that interact by gravitation force, the so-called circular restricted three-body problem (CR3BP). Such model is reviewed starting from the formalism and concepts from the theory of dynamic systems, focusing on resonance phenomena, statespace representation, Poincare's maps and the KAM theorem. We have discussed mathematic stability aspects of the problem, its equilibria points -Lagrangean points -and how the integrability condition is applied to do so. Results from computational simulations are analyzed and some are presented, e.g., simulations that explore regions of chaotic behavior on the Poincare's section, directly correlated to the vacancies on asteroids belts and planet's rings from our solar system, as some possible orbit maneuvers that expends less energy. Keywords: three-body problem, dynamic systems theory, simulations, stability. IntroduçãoConforme Monteiro (2011) [1], podemos considerar que a origem da denominada teoria dos sistemas dinâmicos coincide com a da mecânica clássica. O desenvolvimento da mecânica clássica, em especial na resolução de problemas envolvendo mecânica celeste, contribuiu fundamentalmente para a construção de conceitos e do formalismo constitutivo da teoria dos sistemas dinâmicos, que encontra aplicações atuais em diversasáreas do conhecimento. Inequivocamente, um marco na consolidação da mecânica clássica como um dos pilares da ciência moderna, foi a solução de Newton para o problema de Kepler referentè asórbitas planetárias.Em sua obra Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, publicada pela primeira vez em 1687, Newton mostrou que um corpo esférico homogêneo, sujeitoà ação de uma força atrativa central inversamente proporcional ao quadrado da distância entre ele e um corpo fixo, pode * Endereço de correspondência: flavio.martins@outlook.com. descrever uma trajetória elíptica como a identificada por Kepler no estudo daórbita de Marte. De fato, dependendo d...

Aplicação do Problema Restrito de Três Corpos no estudo do movimento de astros do sistema solar

“…Quando é, observamos que o enfoque maior está no desenvolvimento matemático do problema e não na sua aplicação e contextualização. Esse fato pode ser visto, por exemplo, nos artigos publicados neste periódico [4,11].…”