A derivada funcional de segunda ordem da ação: investigando minimalidade, maximalidade e "ponto" sela

Abstract

O presente trabalho tem basicamente dois objetivos. O primeiroé apresentar o problema geral da mecânica lagrangiana e o princípio de Hamilton utilizando, de uma maneira didática, definições matemáticas de derivadas "direcionais"funcionais e pontos críticos ou estacionários de um funcional. O segundoé analisar, através da derivada funcional de segunda ordem, condições em que as soluções de modelos unidimensionais representam "pontos críticos"de mínimo, de sela ou de máximo local do funcional ação e mostrar alguns exemplos. Palavras-chave: derivadas direcionais funcionais, ponto estacionário de um funcional, equação de EulerLagrange, derivada funcional de segunda ordem.In this article we have two objectives. The first is to present the general problem of the lagrangean mechanics and the Hamilton principle by using mathematical definitions of functional directional derivatives and critical or stationary points of a functional. The second is to analyse, by use of the functional derivative of second order, conditions where the solutions of unidimensionals models represent minimum, of saddle or maximum local points of the action functional and show some examples. Keywords: Functional directional derivative, stationary point of a functional, Euler-Lagrange equation, functional derivative of second order. IntroduçãoO princípio de Hamiltoné designado por vários autores como princípio de mínima ação [1][2][3][4]. Outros se referem a ação estacionária, ou crítica [5][6][7], mas não discutem a natureza desta criticalidade pois não seguem além da variação funcional de primeira ordem, o queé suficiente apenas para se obter as equações de movimento de Euler-Lagrange e prosseguir com suas aplicações e desmembramentos.Em 2007, Gray e Taylor [8] apresentaram uma discussão detalhada sobre a possível não minimalidade da ação de um sistema mostrando inclusive que a solução da equação do oscilador harmônico simples constitui ponto de sela da ação, ao supor que o intervalo [t 1 ; t 2 ] da correspondente integral da lagrangianaé maior do que o semiperíodo do oscilador, o queé fisicamente aceitável para possibilitar oscilações neste intervalo de observação.Eles mostraram também uma "prova intuitiva" 2 de um teorema de Jacobi que afirma que a ação nunca pode ser máxima, embora alguns autores se refiramà ação assumindo um extremum [2] admitindo a possibilidade de máximo. Na Ref.[9] deste trabalho, citada também por Gray e Taylor, há de fato uma prova da não maximalidade da ação, mas pressupõe que o potencial contido na lagrangianaé dependente em geral apenas da posição e do tempo. No entanto sabemos que na natureza há potenciais que violam este pressuposto, comoé o caso de uma partícula num campo eletromagnético, onde o potencial depende também da velocidade [7,[10][11][12].Explorando o caso de potenciais dependentes da velocidade, o presente trabalho mostra, conforme veremos mais adiante, queé possível construir modelos unidimensionais cujas soluções das equações de movimento representam pontos de máximo da ação, diferentemente dos casos...

Uso da combinação linear de soluções físicas no estudo da natureza do ponto estacionário da ação

“…Esses resultados confirmam que, dentre todos os movimentos virtuais abrangidos pela família (6), o movimento real da partícula livre (α = β = 0) é um ponto de mínimo de S 1 para quaisqer valores de τ , ω e q f . Em [3] e [4], os autores indicam que a ação no problema da partícula livre é minimizada quando avaliada em seu movimento real, portanto, nosso resultado está de acordo com o estabelecido na literatura.…”

“…As derivadas parciais de segunda ordem de S 2 são as mesmas de S 1 , portanto, assim como no caso da partícula livre, dentre todos os movimentos virtuais abrangidos pela família (6), o movimento real do lançamento vertical (α = 0 e β = 1) é o que leva ao menor valor da ação S 2 . Mais uma vez, nossos resultados estão de acordo com os gráficos apresentados em [3] e [4].…”

“…Para ωτ > π, D 1 < 1 e −∞ ≤ D 2 ≤ ∞, logo, o ponto estável de S 3 oscila entre ser um ponto de máximo e ponto de sela dentre os movimentos reprentados por (6). No caso do oscilador harmônico, [3], [4] e [5] indicam que para τ < π/ω, o movimento real do oscilador harmônico minimiza sua ação, ao passo que para τ > π/ω, o movimento real gera um "ponto"de sela. Embora a primeira vista, possamos ter a impressão de que os resultados apresentados nesse artigo não estejam de acordo com esse resulytado, devemos lembrar que a família (6) não abrange todas os movimentos virtuais possíveis.…”

“…Fica claro neste artigo que, em certos casos, para determinar o sinal da derivada segunda, é necessário especificar a forma da função desvio η e extrapolar o resultado para uma função desvio arbitrária. [4].…”