Geometria diferencial de curvas e dinâmica da partícula

Abstract

A geometria diferencial de curvasé aplicadaà dinâmica de uma partícula em movimento no espaço tridimensional. As propriedades geométricas da trajetória são expressas em termos de grandezas dinâmicas associadas ao movimento. Estudamos, em particular, a conexão entre a curvatura, a torção e a força a que a partícula está sujeita. São encontradas as condições gerais que uma força deve satisfazer para que a trajetória seja plana independentemente das condições iniciais. Palavras-chave: geometria diferencial de curvas, dinâmica da partícula.The differential geometry of curves is applied to the dynamics of a particle moving in tridimensional space. The geometric properties of the trajectory are expressed in terms of dynamical quantities associated with the motion. In particular, we study how curvature and torsion are connected with the force on the particle. General conditions are found that a force has to satisfy in order that the trajectory lies on a plane irrespective of the initial conditions. Keywords: differential geometry of curves, single particle dynamics. IntroduçãoConceitos geométricos e topológicos [1] desempenham um papel cada vez mais destacado na construção de teorias físicas [2]. Em particular, a geometria diferencialé uma disciplina matemática de extrema importância para a física teórica contemporânea: suas aplicações estendem-se da mecânica clássica [3]à física das partículas elementares [4], sem falar no seu papel vital na teoria da relatividade geral de Einstein [5].Com seu belo aparato analítico e forte apelo visual, a geometria diferencial de curvas e superfícies no espaço tridimensional, além de importante e fascinante por si mesma, abre as portas para o estudo de geometria diferencial avançada, de suma importância para a física teórica atual. O vínculo entre mecânica e geometriaé muito estreito, o que tem estimulado a exposição das técnicas básicas da geometria diferencial de curvas e superfícies em livros avançados de mecânica clássica [6].Neste trabalho fazemos uma breve exposição das ideias e dos resultados fundamentais da geometria diferencial de curvas visando aplicaçõesà dinâmica de uma partícula. As propriedades geométricas fundamentais da trajetória são expressas em termos da força sobre a partícula e de outras grandezas dinâmicas associadas ao movimento. Essa abordagem torna possível enunciar de forma clara certos problemas cuja formulação matemática seria obscura no tratamento convencional. Em particular, são encontradas as condições gerais que uma força deve satisfazer para que a trajetória seja plana quaisquer que sejam as condições iniciais. Elementos da geometria diferencial de curvasEmbora nossa concepção mais imediata de curva seja estática -um conjunto de pontos no espaço formando uma linha -, uma curva também pode ser entendida intuitivamente como a trajetória descrita por um ponto em movimento. Esta ideiaé tornada matematicamente precisa pela noção de curva parametrizada. Há uma teoria geral de curvas em R n e -de particular interesse para a teoria da relatividade especial -n...

Uma aplicação da dinâmica de uma partícula em uma trajetória predeterminada: o problema do iglu elipsoidal

“…Na segunda seção deste trabalho apresentamos um estudo rigoroso da cinemática de uma partícula que desliza por uma superfície de geometria predeterminada, descrevendo uma trajetória bidimensional associada ao perfil dessa superfície. Para isso, utilizamos elementos básicos de geometria diferencial, como o raio de curvatura e os vetores unitários tangente e normal à trajetória da partícula [3][4][5]. O estudo apresentado tem validade geral e pode ser aplicado ao movimento de uma partícula que descreve uma trajetória bidimensional qualquer ao deslizar por uma superfície perfeitamente polida.…”