Quaternions, números complexos e os ensembles de matrizes aleatórias

Abstract

Neste trabalho dois ensembles de matrizes aleatórias são construídos com detalhes refinados. São eles: o Ensemble Gaussiano Unitário cujos elementos das matrizes são números complexos e o Ensemble Gaussiano Simplético, cujos elementos das matrizes são quaternions. Palavras-chave: quaternion, matrizes aleatórias, ensemble unitário, ensemble simplético.In this work two ensembles of random matrices are built with refinements of details. They are them Ensemble Unitary Gaussian whose elements of the matrices are complex numbers and Ensemble Gaussian Symplectic containing matrices with quaternions elements. Keywords: quaternion, random matrix, unitary ensemble, simpletic ensemble. IntroduçãoEste trabalhoé a continuação natural de outro trabalho publicado anteriormente nessa mesma revista [1], onde foi apresentado o principal ensemble de matrizes aleatórias de ordem dois denominado Ensemble Ortogonal Gaussiano (GOE). Por motivo de completeza, dois ensembles serão construídos em detalhes: o Ensemble Unitário (GUE) cujos elementos são números complexos aleatórios e o Ensemble Simplético (GSE) cujos elementos das matrizes são quaternions. Para tanto, relembraremos inicialmente alguns aspectos relevantes já inseridos no trabalho anterior e que serão utilizados repetidamente neste trabalho.Para construir o ensemble gaussiano de matrizes desejado, define-se uma função auxiliar F que reúne, em umaúnica expressão analítica, a entropia da informação e os dois vínculos necessários conforme a expressão matemáticaO primeiro vínculo identificado na Eq.(1)é a normalização da distribuição, que reconhecidamenteé reescrita na formaPor outro lado, define-se µ = trH 2 que representa o segundo vínculo na Eq. (1), ou então de maneira explícitaA diferencial matricial dH sintetiza o produto diferencial de todos elementos independentes da matriz considerada. Os parâmetros λ 1 e λ 2 que acompanham os vínculos na Eq. (1) são os famosos multiplicadores de Lagrange. A densidade de probabilidade P = P (H)é determinada impondo a condição δF = 0 e, após considerável cálculo, chega-seà expressão geralPara determinar a função de partição substitui-se a distribuição das matrizes aleatórias (4) na condição de normalização (2) e, dessa forma, chega-se imediatamente a igualdadePara construir os ensembles gaussianos basta determinar o traço do quadrado da matriz (trH 2 ) e a função de partição definida imediatamente acima na Eq. (5). Estas tarefas serão realizadas a seguir detalhadamente. Ensemble Unitário GaussianoA matriz complexa hermiteanaé escrita na forma