Órbitas fechadas e o potencial harmônico de Manev

Abstract

Estudamos condições para a existência deórbitas fechadas em três potenciais distintos. Primeiramente, confirmamos condições já conhecidas para o problema de Manev. Em um segundo passo, inspirados pelo teorema de Bertrand, construímos o potencial harmônico de Manev substituindo o termo do oscilador harmônico no lugar do termo Newtoniano no potencial de Manev. Assim como no potencial de Manev, encontramos condições similares para a existência deórbitas fechadas que são relacionadas com valores restritos do momento angular. Analisamos também um potencial Newtoniano corrigido com o termo harmônico. Palavras-chave: potencial de Manev, teorema de Bertrand,órbitas fechadas.We study conditions for the existence of closed orbits in three distinct potentials. Firstly, we confirm well known conditions for the Manev problem. In a second step, inspired by the result of Bertrand's theorem, we construct a harmonic Manev potential with a harmonic oscillator term instead of the Newtonian one. As in the original Manev potential we find similar conditions for closed orbits that are correlated with restrict values of angular momenta. We analyse also a harmonic corrected Newtonian potential. Keywords: Manev potential, Bertrand's theorem, closed orbits. IntroduçãoConhecer a trajetória de uma partícula em um campo de força centralé um problema extremamente importante em dois ramos bem diferentes da física, como por exemplo, o movimento de corpos celestes e certos tipos de situações em mecânica quântica. Muitos tipos de potenciais têm sido estudados nosúltimos quatro séculos desde o começo da era moderna do estudo da mecânica com o Principia [5]. Este resultado, nos diz que somente forças centrais do tipo V (r) ∝ r n , que resultam emórbitas fechadas para todas as partículas radialmente ligadas, são o potencial Newtoniano n = −1 (ou problema de Kepler) e o potencial do oscilador harmônico simples n = 2 (ou Lei de Hooke). Diferentes provas do teorema de Bertrand podem ser encontradas nas Refs. [6,7].Dentro do estudo da mecânica celeste, com o advento da relatividade geral, temos uma nova maneira de descrever processos físicos gravitacionais. No limite de campos fracos da relatividade geral um corpo de prova orbitando sob um campo gravitacionalé governado pelo potencial V R ∝ (r −1 +r −3 ). Esse resultado explica com grande precisão as observações da precessão do perihélio de Mercúrio. No entanto, uma tentativa clássica de reproduzir os resultados da relatividade geral foi feito pelo físico búlgaro Georgi Manev a partir da segunda década do século passado, quando este introduziu um potencial da forma [8]onde Aé o produto da constante gravitacional pela massa do corpo (A = GM ), Bé uma constante e ć e a velocidade da luz. A partir do potencial de Manev (1) obtemos o potencial newtoniano com o limite não relativístico B << c 2 . Devemos fazer referência que mesmo Newton já havia considerado este potencial e 1 E-mail: velten@cce.ufes.br.2 Como as publicações de Manev eram em francês ou em alemão se diz Maneff.

Trajetórias limitadas num sistema com uma força dependente da velocidade

“…Após 1930, ano daúltima publicação de Manev a respeito do tema, suas idéias permaneceram esquecidas por um longo período de tempo até receberem um novo impulso através de artigos recentes. O trabalho [4] traz uma breve e clara discussão acerca da teoria de Manev e indica uma série de referências recentes sobre o assunto.…”

“…Por exemplo, em astrofísica existem propostas como a teoria MOND [1,2] que consiste numa modificação do potencial gravitacional newtoniano a fim de dar conta da parcela de matéria escura presente no halo das galáxias espirais. Outro exemploé o conhecido potencial central de Manev [3,4] que visa reproduzir, utilizando ainda a mecânica newtoniana, efeitos inicialmente explicados apenas pela teoria da relatividade geral, através da introdução de um termo adicional ao potencial newtoniano 1 ρ . Esteúltimoé um exemplo de potencial efetivo pois, grosso modo, pode ser entendido como um potencial conhecido somado a um outro termo visando explicar teoricamenteàs observações.…”