Osciladores forçados: harmônico e paramétrico

Abstract

O objetivo deste trabalhoé mostrar como uma análise comparativa das várias técnicas de resolução de equações diferenciais pode ser uma importante ferramenta didática no aprendizado de ressonância em mecânica. São estudados os osciladores harmônico e paramétrico forçados pelo método da variação dos parâmetros e pelo método de Green. A importância de suposições a priori na resolução de equações diferenciais tambémé discutida. Palavras-chave: oscilações mecânicas, ressonância, métodos matemáticos aplicadosà física.The goal of this work is show how the comparative study of several techniques to solve diferential equations can be a important teaching tool in the learning of a mechanical resonance phenomenon. The forced damped harmonic and parametric oscillator are studied by method of variation of parameters and Green's method. The importance of a priori suppositions is also discussed. Keywords: mechanical oscillations, resonance, applied mathematical methods in physics. IntroduçãoO estudo de oscilações em mecânicaé muito importante tanto para a formação matemática do estudante quanto para resolução de problemas do dia-a-dia nas mais diversasáreas.Um tópico muito interessante em oscilaçõesé o fenômeno da ressonância queé um comportamento diferente do oscilador quandoé aplicada uma freqüência específica. Nos cursos de mecânica da graduaçãoé comum o estudo de osciladores harmônicos, forçados, amortecidos e até mesmo acoplados. Com menor freqüência são estudadas as oscilações paramétricas e suas aplicações, nos cursos de pós-graduação, por exemplo,é utilizada como exemplo para uma visão geral de caos [1].O estudo do oscilador harmônico apresenta uma ampla faixa de aplicações pedagógicas, um oscilador harmônico em um trillho de correr pode apresentar diversos limites da fenomenologia das oscilações [3]. O oscilador harmônico forçado estudadoà luz do teorema trabalho-energia pode prover um excelente trabalho de aprendizado com ferramentas computacionais [4].O clássico oscilador harmônico que oscila em uma freqüência característica ao ser perturbado por uma força oscilante com a mesma freqüência característica do oscilador apresentará oscilações onde a amplitude das oscilações aumentarão linearmente com o tempo [2], quando se tem esta situação o oscilador está em ressonância. Este fenômenoé muitoútil, um exemploé a quebra da ponte sobre o estreito de Tacoma, um caso de ressonância.O estudo das oscilações tambémé uma interessante aplicação de métodos matemáticos na física. O oscilador harmônico amortecido ou forçado solucionado pelo método de Green apresenta um interessante exemplo físico do uso deste método [5].As oscilações paramétricas surgem em um sistema onde um dos parâmetros do oscilador varia com uma determinada coordenada. Em circuitos ocorre oscilações paramétricas quando um dos parâmetros do sistema, a capacitância, varia com o tempo periodicamente [6]. Em física de partículas os campos são descritos por equações diferenciais nas quais a ressonância paramétrica funciona como um mecanismo de produção de matéria [7...

Escalas e simplificações: exemplos em sistemas físicos e biológicos

“…teremos a seguinte solução x(t) = sin(λt).É claro que poderíamos ter uma evolução espacial ao invés de temporal com u(x) = sin(λx) que seria intrisecamente o mesmo problema, como podemos ver em várias analogias na física [12].…”

Uma abordagem teórica e experimental do oscilador harmônico em duas dimensões utilizando as curvas de Lissajous

“…A abordagem destes problemas pode ser contextualizada uma vez que está relacionadá a fenômenos comuns e/ou aplicações nas mais diversaś areas do conhecimento [1,2]. Este estudo pode envolver ainda um formalismo e cálculos matemáticos [3] que se tornam gradativamente mais complexos,à medida que novas variáveis são consideradas e/ou envolvidas no problema, possibilitando assim uma evolução gradual no desenvolvimento, análise e solução dos problemas.…”