Difusão anômala e equações generalizadas de difusão

Pedron, Isabel Tamara; Mendes, Renio dos Santos

doi:10.1590/s1806-11172005000200011

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“…Uma outra forma de modelar a difusão anômalaé relaxar a condição de independência das variáveis no teorema do limite central de Gauss, obtendo a equação de difusão correlacionada, ou equação de difusão para meios porosos [17,25]. A forma unidimensional desta equaçãoé obtida fazendo ξ = 2 na Eq.…”

Section: Equação De Difusão Não-linearunclassified

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Difusão anômala: transição entre os regimes localizado e estendido na caminhada do turista unidimensional

Gonzalez¹

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Considere um meio desordenado formado por N pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente com probabilidade uniforme ao longo das arestas unitárias de um hipercubo de d dimensões. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer desse meio, se desloca seguindo a regra determinista de dirigir-se sempre ao ponto mais próximo que não tenha sido visitado nosúltimos µ passos. Esta dinâmica de movimentação, denominada caminhada determinista do turista, leva a trajetórias formadas por uma parte inicial transiente de t pontos, e uma parte final cíclica de p pontos. A exploração do meio se limita aos t + p pontos percorridos na trajetória. O sucesso da exploração depende do valor da memória µ do viajante. Para valores pequenos de µ a exploraçãoé altamente localizada e o sistema nãoé satisfatoriamente explorado. Já para µ da ordem de N , aparecem ciclos longos, permitindo a exploração global do meio. O objetivo deste estudoé determinar o valor de memória µ 1 para o qual ocorre uma transição abrupta no comportamento exploratório do turista em meios unidimensionais. Procuramos também entender a distribuição da posição final do turista após atingir um estado estacionário queé atingido quando o turista fica aprisionado nos ciclos. Os resultados obtidos por simulações numéricas e por um tratamento analítico mostram que µ 1 = log 2 N. O estudo também mostrou a existência de uma região de transição com largura ε = e/ ln 2 constante, caracterizando uma transição aguda de fase no comportamento exploratório do turista em uma dimensão. A análise do estado estacionário da caminhada em função da memória mostrou que, para µ distante de µ 1 , a dinâmica de exploração ocorre como um processo difusivo tradicional (distribuição gaussiana). Já para µ próximo de µ 1 (região de transição), essa dinâmica segue um processo superdifusivo não-linear, caracterizado por distribuições q-gaussianas e distribuições α-estáveis de Lévy. Neste processo, o parâmetro q funciona como parâmetro de ordem da transição.

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Section: Equação De Difusão Não-linearunclassified

“…A função exponencial generalizada, ou função q-exponencial, cuja definição está associadaà termoestatística não-extensiva de Tsallis [51],é dada por [17,25]:…”

Section: A5 Função Exponencial Generalizadaunclassified

Difusão anômala: transição entre os regimes localizado e estendido na caminhada do turista unidimensional

Gonzalez¹

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“…ou equação de difusão para meios porosos [86,4]. A forma unidimensional desta equaçãoé obtida fazendo ξ = 2 na Eq.…”

Section: Equação De Difusão Não-linearunclassified

Funções generalizadas, modelos de crescimento contínuos e discretos e caminhadas estocásticas em meios desordenados

Gonzalez¹

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The present work is splitted into two parts. In the first one we present the generalized logarithm and exponential functions. From them, a wide variety of other generalized functions can be obtained, that allow a unique formulation of oscillatory, exponential an power-law behaviors, that characterize physical phenomena. We also show that it is possible to generalize the stretched exponential probability density function (pdf) and, from there, a wide range of other pdf's that characterize complex systems in Physics. The generalized logarithm and exponential functions are also useful to generalize several continuous growth models into a single formulation: the generalized Tsoullaris and Wallace growth model. The same can be done for discrete growth models, getting, as more general model, the generalized θ-Ricker growth model. Concluding the first part, we show that the generalized Gaussian pdf (a special case of the generalized stretched exponential) is a solution of the nonlinear diffusion equation, which is a characteristic of deterministic tourist walk. In the second part we present the tourist walk and its two original versions: the deterministic one (DTW) and stochastic one (STW). The first one is a partially self-avoiding walk over a disordered multidimensional medium formed by N points and characterized by a memory µ. In a one-dimensional environment, it presents a transition from a local exploration to a global one at a well-defined memory value µ 1 = log 2 N. In its stochastic version (from which DTW is a particular case), the movement dynamics is ruled by the memory µ and a temperature T which is responsible by the displacement probabilities. Similar to DTW, STW also has a transition between exploration schemes, characterized by a critical memory and temperature and the walking age (N p) (aging effect). Due the difficulty on analytical treatment of the CET, we introduced the modified stochastic tourist walk (MSTW). In this version, the parameter T plays the role of a maximum distance of one walking step. This modification allowed us to treat analytically the walk, being possible to obtain a general analytical expression for the transition, as function to the parameters µ, T and N p. These results were validated by numerical experiments.

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Particular solution for anomalous diffusion equation with source term

Araujo

Filho

2011

J. Phys.: Conf. Ser.

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In literature the phenomenon of diffusion has been widely studied, however for nonextensive systems which are governed by a nonlinear stochastic dynamic, there are a few soluble models. The purpose of this study is to present the solution of the nonlinear Fokker-Planck equation for a model of potential with barrier considering a term of absorption. Systems of this nature can be observed in various chemical or biological processes and their solution enriches the studies of existing nonextensive systems.

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Difusão anômala e equações generalizadas de difusão

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Difusão anômala: transição entre os regimes localizado e estendido na caminhada do turista unidimensional

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Funções generalizadas, modelos de crescimento contínuos e discretos e caminhadas estocásticas em meios desordenados

Particular solution for anomalous diffusion equation with source term

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