Partícula em um poço de potencial infinito e o método variacional de Monte Carlo

Abstract

Neste trabalho, apresentamos o método variacional de Monte Carlo, aplicado a um sistema de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito. A amostragem da densidade de probabilidadeé feita utilizando-se o algoritmo de Metropolis. O objetivo do trabalhoé apresentar de forma didática o método e sua implementação em computadores.We apply the variational Monte Carlo method to study a particle in an infinite potential well. The probability density is sampled using the Metropolis algorithm. The aim of this work is to present in a pedagogical way both the method and its computer implementation. I IntroduçãoA simulação de sistemas físicos em computadores vem se tornando essencial para o estudo da física e da ciência dos materiais, pois os modelos teóricos dos sistemas da natureza, cada vez mais realistas, são também cada vez mais complexos.Nessas simulações são avaliadas grandezas de interesse do sistema, sem que as equações que as descrevem sejam explicitamente resolvidas. A idéia desses métodosé obter respostas numéricas sujeitas apenas a incertezas de natureza estatística em situações em que nãoé possível determinar resultados de forma analítica.Neste artigo, apresentamos o método variacional de Monte Carlo e o aplicamos num problema físico extremamente simples de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito.O método de Monte Carlo possibilita o cálculo de diversas grandezas de interesse do sistema, entre elas, a sua energia total. Para tanto, diversas configurações (posições da partícula no espaço), são utilizadas. Cada configuração possui uma probabilidade de ocorrer. Assim, a energia do sistemaé dada pela média das energias associadas a cada configuração, e ponderada pela densidade de probabilidade P de esta configuração ocorrer.Essa ponderaçãoé feita escolhendo-se as configurações por essa densidade de probabilidade. Dentre os algoritmos que permitem fazer essa amostragem, está o algoritmo de Metropolis [1].O algoritmo de Metropolis permite, a cada passo, obter uma nova configuração a partir da anterior, utilizando a densidade de probabilidade P . O algoritmo permite essencialmente que configurações mais prováveis tenham mais chance de ocorrer na média das grandezas de interesse. Na próxima seção, descrevemos o modelo da partícula no poço de potencial. Na seção 3 discutimos o método variacional. Nas duas seções seguintes, apresentamos o método variacional, e o algoritmo de Metropolis, respectivamente. Em seguida, discutimos detalhes da implementação, e apresentamos os resultados obtidos. II Partícula confinada num poço de potencial infinitoPara uma partícula em estado estacionário, istoé, em que não há variação na sua energia, a equação de Schrödingeré dada por Hψ n (x) = E n ψ n (x),em que Hé a Hamiltoniana, em um problema unidimensional, escrita como

A função radial de distribuição de pares para sistemas Lennard-Jones bidimensionais

“…Os resultados foram obtidos em 10000 passos após o equilíbrio ter sido atingido, o qual teve duração de 1000 passos.É igualmente importante fazermos um tratamento estatístico dos resultados. Estes procedimentos são bem estabelecidos e estão discutidos nas Referências [6,7].…”