Sobre o teorema quântico de Sommerfeld e de Epstein

Abstract

A. EinsteinPublicado nos Deutsche Physikalische Gesellschaft, Verhandlungen 19, 82-92 (1917) Formulação atualNão há mesmo mais dúvidas de que a condição de quantização para sistemas mecânicos periódicos de um grau de liberdade seja(Sommerfeld e Debye). Nessa equação a integral deve ser estendida por um período completo do movimento, qé a coordenada e p a coordenada correspondente ao impulso do sistema. Além disso, os trabalhos teóricos espectrais de Sommerfeld indicam com segurança que, para sistemas com vários graus de liberdade, devem surgir, no lugar destaúnica condição quântica, diversas condições, geralmente tantas (l) quantas são os graus de liberdade do sistema. Estas l condições são, de acordo com Sommerfeld,Como esta formulação nãoé independente da escolha das coordenadas, elaé válida apenas com uma escolha apropriada das mesmas. Somente após esta escolha ter sido realizada, e sendo as q i funções peródicas do tempo, o sistema (2) poderá conter alguma informação sobre o movimento. Outra contribuição importante para o princípio de quantização foi feito por Epstein (e Schwarzschild). O primeiro baseia sua regra para a escolha das coordenadas q i de Sommerfeld no teorema de Jacobi que, como se sabe, tem o seguinte enunciado: seja H (H[q i p i ]) a função de Hamilton das q i , p i e t, que aparece nas equações canônicas.e que -caso ela não contenha o tempo t explicitamente -é idênticaà função energia 1 . Seja ainda J(t, q 1 . . . q l , α 1 . . . α l ) uma integral completa da equação diferencial parcial de Hamilton-JacobiEntão, a solução das equações canônicasé dada porSe H não contiver o tempo explicitamente, o que pressupomos a seguir, então pode-se satisfazer (5) com o ansatzem que hé constante e J * não depende mais explicitamente do tempo t. No lugar de (5), (6) e (7) aparecem então as equaçõessendo que a primeira das Eqs. (10) representa apenas l − 1 equações, no lugar de α l apareceu a constante h e no lugar de β l , a constante −t 0 .

Einstein e a teoria de caos quântico

“…Einstein's paper On the quantum theorem of Sommerfeld and Epstein [1,2], published in 1917, proposes a generalization of the quantization rule of Bohr, Sommerfeld and Epstein for multi-dimensional integrable systems. Einstein also points out that non-integrable systems could not be quantized with such rules.…”

“…Dessas contribuições, sua participação na teoria de caos quântico, que praticamente nasce com esse trabalho de 1917 [1,2], permanece ainda razoavelmente desconhecida.…”

“…

O trabalho de Einstein intitulado Sobre o teorema quântico de Sommerfeld e de Epstein [1,2], publicado em 1917, propõe uma generalização da regra de quantização de Bohr, Sommerfeld e Epstein para sistemas multidimensionais integráveis. Ao mesmo tempo, Einstein nota que sistemas não-integráveis não podem ser quantizados dessa maneira.

…”

“…Essa observação indica pela primeira vez a não trivialidade do limite semiclássico de sistemas caóticos, e pode ser considerado como pioneiro da teoria de caos quântico. Palavras-chave: Einstein, regras de quantização, caos quântico.Einstein's paper On the quantum theorem of Sommerfeld and Epstein [1,2], published in 1917, proposes a generalization of the quantization rule of Bohr, Sommerfeld and Epstein for multi-dimensional integrable systems. Einstein also points out that non-integrable systems could not be quantized with such rules.…”

O Gato e a Borboleta: propriedades quânticas de sistemas caóticos

“…Inicialmente, a física quântica se desenvolveu de forma semiclássica, por meio de analogias e formulações ad hoc, como o modelo de Bohr para oátomo de hidrogênio e a condição de quantização de Sommerfeld, que concordavam com resultados experimentais para sistemas simples. Entretanto, já em 1917 o próprio Albert Einstein publicou um artigo no qual observou que esse modo de proceder não seria possível no caso de sistemas não-integráveis [1,2]. Poucos anos depois, a equação de Schrödinger inaugurou uma novaépoca na teoria quântica e a questão do tratamento de sistemas caóticos só foi retomada na década de 1970 [3], acabando por se transformar naárea que ficou conhecida como caos quântico [4][5][6][7] (apesar da preferência de um dos fundadores, Sir Michael Berry, pela expressão caologia quântica [8]).…”