Seismic ray tomography using L1 integral norm

Abstract

ABSTRACT. Seismic ray tomography methods are usually associated with substantial computer processing time. The reason for this is that at each step of the iterative inversion process defined by the tomographic method the two-point ray tracing problem must be solved for each source-receiver pair. In order to resolve this, an Euclidean norm (L 2 vector norm), commonly used in error functions which are to be minimized in inversion procedures, is substituted by an L 1 integral norm, which enables the estimation of model parameters by minimizing the area between observed and calculated traveltime curves that are interpolated (or adjusted) to the data points. Relatively simple mathematical developments and numerical experiments with two-dimensional compressional seismic wave velocity field models show that L 1 integral norm saves an enormous amount of processing time with no significant loss of accuracy. Occasionally, parameters of the model can be better estimated using L 1 integral norm than the L 2 vector norm that is traditionally utilized in seismic inversion tomography.Keywords: seismic ray, tomography, polynomial parameterization, seismic velocity field, two-point ray tracing problem, L 2 vector norm, L 1 integral norm.RESUMO. O alto consumo de tempo em processamento computacionalé um problema que, geralmente, está associado aos métodos de tomografia sísmica.Isto ocorre porque, em cada passo do processo iterativo de inversão definido pelo método tomográfico, o problema da conexão de dois pontos, pela curva da trajetória do raio sísmico, deve ser resolvido para cada par fonte-receptor. A fim de reduzir a gravidade deste tipo de problema, a norma Euclideana (norma L 2 de vetor), comumente empregada nas funções de erro a ser minimizado no processo de inversão,é substituída por uma norma L 1 de função. Essa mudança permite estimar parâmetros do modelo através da minimização daárea entre curvas de tempos observados e calculados que são interpoladas (ou ajustadas) aos pontos referentes aos dados. Desenvolvimentos matemáticos e experimentos numéricos relativamente simples, com modelos bidimensionais de campos de velocidade sísmica de ondas compressionais, mostram que a norma L 1 de função permite poupar uma enorme quantidade de tempo de processamento sem uma importante perda de precisão.As vezes, os parâmetros do modelo são estimados de modo mais acurado usando-se a norma L 1 da integral em lugar da norma L 2 de vetor, tradicionalmente usada na inversão tomográfica.Palavras-chave: raio sísmico, tomografia, parametrização polinomial, campo de velocidade sísmica, problema de conexão de dois pontos por traçado de raio, norma L 2 de vetor, norma L 1 de integral.

Global optimization based on quasi-Monte Carlo methods for seismic inversion

“…The theoretical basis of this section is given byČervený ( 2001) and Santos and Figueiró (2011). We assume that the vector position of a ray trajectory is determined by the parametric equations…”

Parametrização de campos de velocidades sísmicas por série ondaleta Haar usando algoritmo piramidal e técnicas de redução de parâmetros

“…Na geofísica, existe a preocupação de tornar quantitativos modelos qualitativos provenientes da geologia de modo a torná-los matematicamente manipuláveis. Para tanto, utiliza-se a parametrização, que dentre alguns tipos mais conhecidos, pode-se citar: a matricial, a polinomial (dos Santos & Figueiró, 2011), a trigonométrica, a por splines e outras.…”

Parametrização de campo de velocidades sísmicas bidimensionais usando malha triangular

“…Estruturas geológicas reais são com freqüência representadas por modelos sintéticos (campos de velocidades sísmicas), tais como: Marmousi, SEG-EAGE e outros (Perin & Figueiró, 2012e Martinez & Figueiró, 2011. Nestes casos, muitas vezes se faz relevante representar o campo de velocidades ao longo de todo o corpo geológico e isto é feito parametrizando o campo de velocidades em uma das mais diversas bases de funções tais como: matriciais, polinomiais, senoidais (Fourier), splines, ondaletas e outras (Bishop et al, 1985;Wyld, 1985;Figueiró, 2001;Dos Santos & Figueiró, 2006;Dos Santos, 2008;Dos Santos & Figueiró, 2011;e Santana, 2008). Entretanto, a obtenção de uma boa acurácia na aproximação pode exigir o uso de uma grande quantidade de parâmetros.…”