Aspectos relacionados à utilização da equação logística quadrática em processos eletroquímicos

Abstract

Recebido em 10/10/00; aceito em 7/5/01 ASPECTS RELATED TO THE USE OF THE QUADRATIC LOGISTIC EQUATION IN ELECTROCHEMICAL PROCESSES.The concepts of dissipation and feedback are contained in the behavior of many natural dynamical systems. They have been used to predict the evolution of populations leading to the formulation of the quadratic logistic equation (QLE). More recently, the QLE has been used to provide a better understanding of physicochemical systems with promising results. Many physical, chemical and biological dynamic phenomena can be understood on the basis of the QLE and this work describes the main aspects of this equation and some recent applications, with emphasis on electrochemical systems. Also, it is illustrated the concept of potential energy as a convenient way of describing the stability of the fixed points of the QLE.Keywords:logistic equation; intercalation process; electrochemical systems; feedback. INTRODUÇÃOUm dos problemas centrais em áreas como biologia, demografia e ecologia humana está relacionado à capacidade do ambiente em proporcionar condições de sobrevivência à determinada espécie. Nesse aspecto, Thomas Robert Malthus(1766 -1834) foi o primeiro a desenvolver uma teoria sobre o crescimento populacional humano relacionando-o à capacidade do ambiente em prover esse crescimento 1 . Sobre a importância do trabalho de Malthus pode-se citar, por exemplo, sua influência no desenvolvimento do conceito de seleção natural por Darwin, que representa o ponto de partida para toda toda a biologia evolucionária moderna e ecologia 2 . A idéia malthusiana do crescimento incontrolável de população sujeito apenas a restrições ambientais foi colocada em termos matemáticos por Verhulst 3 , que utilizou a equação de crescimento logístico no aumento populacional da França, Bélgica, Rússia e Inglaterra em 1838. Desde então, a equação de crescimento logístico ou equação logística quadrática (ELQ) vem sendo utilizada em modelos matemáticos aplicados a ecologia (principalmente na descrição de processos de crescimento populacional), relações presa-predador, interações competitivas, gerenciamento de fontes renováveis, evolução da resistência a pesticidas, controle ecológico de pestes, entre outros 4 . Considerando que características como não-linearidade, dissipação e retro-alimentação (feedback) em sistemas dinâmicos estão contidas na ELQ, sua utilização vem sendo recentemente descrita para a modelagem de processos físico-químicos como resposta de células a combustível com eletrólito polimérico 5,6 , transporte de cargas em filmes orgânicos -e inorgânicos 8 finos. Outro exemplo bastante ilustrativo da utilização da ELQ por analogia com sistemas biológicos trata da criação sucessiva de defeitos, como o processo de fotodegradação em semicondutores amorfos 10 . Particularmente considerando as aplicações de filmes eletroativos em, por exemplo, baterias secundárias, dispositivos eletrocrômicos e sensores 11-16 se fazem necessárias investigações a respeito dos mecanismos de transporte nesses filmes. Uma das maio...

Nonlinear Dynamics and Limiting Reagent: A Transcritical Bifurcation Example

“…Num gráfico de f(x) vs. x os interceptos da função para f(x) = 0 por vezes são identificados por círculos cheios ou vazios, indicando atratores ou repulsores, respectivamente. [10][11][12] A Equação (1) é dita de primeira ordem porque o comportamento dinâmico do sistema pode ser descrito a partir de uma única variável, neste caso x. Sistemas de ordem n, isto é, descritos por n equações diferenciais, estão associados a um espaço de fase de dimensão n.…”

“…Este tipo de gráfico é chamado de plano de fase, termo também usado em sistemas de segunda ordem (n = 2). 10,11 A capacidade dos pontos fixos de atrair ou afastar está associada ao que se denomina estabilidade destes pontos. Uma maneira aproximada de se quantificar esta capacidade é pela análise da estabilidade linear dos pontos fixos, 6,12,13 que se obtém considerando uma perturbação em torno de x * , δx, de modo que x(t) = x * + δx(t) pode voltar a x * ou se afastar dele após a perturbação.…”

“…6 Embora a dinâmica destes processos geralmente sirva de ponte entre a Dinâmica não-linear e a Química, 1,9 mesmo sistemas cujas equações não levam a comportamento oscilatório podem fornecer informações relevantes acerca de processos químicos, como no emprego da equação logística na compreensão de processos eletroquí-micos. 10 Adicionalmente é necessário, para fins didáticos, apresentar sistemas mais simples que mantenham a estrutura elementar da análise de sistemas não-lineares e estejam, de preferência, associados com o estudo de fenômenos químicos. Deste modo, pretende-se com este trabalho empregar alguns conceitos e ferramentas básicas usadas no estudo de sistemas que apresentam dinâmica não-linear na investigação da cinética de uma reação cuja lei de velocidade é dominada por uma etapa bimolecular.…”

Modelagem da cinética de biodegradação de paclobutrazol em dois solos do semiárido do nordeste brasileiro

“…Outra equação utilizada para descrever a biodegradação microbiana é a equação logística quadrática, 24 que é dada por: (6) A solução analítica da equação logística (equação 6) é dada por: (7) na qual, novamente, C(t) é a concentração do composto no tempo t em (g/L); C 0 é a concentração inicial do composto (g/L); K é a concentração final assintótica, ou seja, é a concentração em que a biodegradação do composto se estabiliza e este não é mais degradado, enquanto k é uma pseudoconstante de primeira ordem e por isso está relacionada com a velocidade de degradação (1/t).…”

Application of the quadratic logistic differential equation for the rationalization of methanol electrooxidation dynamics

“…MEO process is described very well by mathematical methods and modeling studies due to: (i) high quality data that either exist or can easily be obtained in a using relatively straight forward electrochemical measurements; (ii) the important factors, electrochemical or else, can easily be controlled and the responses of the system measured; (iii) multitude of correlations can be visualized in electrochemical measurements and in the present context, the current-charge (dQ/dt vs. Q) dependency seems to be most suitable. The quadratic logistic differential equation (QLE) [7][8][9] in the form of a difference for mapping [10,11] in the normalized form dx / dt = r x (1-x) (1) describes the effects of feedback, as well as the effect of parameter r on the value of normalized variable x (0 < x < 1). On the one hand, Eq.…”