Construindo transformadas finitas usando a Teoria de Sturm--Liouville

Abstract

Resumo Problemas de valores inicial e de contorno são muito comuns na Física, Matemática e Engenharia. Eles podem modelar diversos tipos de problemas relacionados a difusão de calor e a vibração de membranas, por exemplo. Quando se deseja encontrar a solução analítica desses problemas podemos encontrar dificuldades extras quando as equações e também as condições de contorno que descrevem os fenômenos são não-homogêneas. Desta forma, neste trabalho apresentamos uma técnica de solução de problemas de valores iniciais e de contorno por meio de transformações integrais. O diferencial da apresentação está na construção da transformada integral apropriada à solução do problema. Essas transformadas são conhecidas como transformadas finitas e neste caso elas estão relacionadas a um problema de Sturm–Liouville associado com o operador diferencial ligado à equação diferencial. Como exemplo do desenvolvimento e aplicação da ferramenta, resolvemos dois problemas de difusão de calor em coordenadas espaciais distintas. A apresentação do trabalho segue de forma pedagógica e autocontida. Sendo assim, esperamos que o leitor compreenda a técnica e possa utilizá-la na resolução de outros problemas envolvendo equações diferencias parciais.

Aplicações computacionais em física: Representação espectral da função de Green com Python

“…Estas surgem quando resolvemos equações diferenciais para as quais o valor da função, de sua derivada, ou uma combinação de condições como essas são conhecidas nas fronteiras de uma determinada região [1][2][3][4][5][6][7]. É o famoso problema de condições de contorno [8][9][10][11][12][13][14], estudado pelos matemáticos Sturm e Liouville durante o século XIX [15,16]. Uma vez definidas as condições de contorno, o problema envolve encontrar as autofunções e os respectivos autovalores da equação diferencial ordinária linear de segunda ordem…”

“…Isso garante que o operador de Sturm-Liouville seja hermitiano, desde que atenda as condições de contorno adequadas, como será discutido a seguir. Têm-se ainda que a função y(x) deve ser diferenciável pelo menos duas vezes na região de domínio associada ao operador L [15][16][17][18][19].…”