Modelización lineal de un sistema masa-resorte real

Abstract

De acuerdo al modelo enseñado en los cursos introductorios universitarios, la frecuencia de las oscilaciones libres de un sistema masa-resorte vertical, en el caso de fuerzas disipativas y masa del resorte despreciables, puede calcularse simplemente como la raíz cuadrada de la relación entre la gravedad del lugar y el estiramiento producido por el cuerpo sujeto al resorte. Sin embargo, cuando se utiliza un resorte real, las frecuencias medidas difieren en forma notable por debajo de las previstas por el modelo. El análisis de la respuesta estática del resorte a la carga revela que no obedece la ley de Hooke e impide definir unaúnica constante elástica k E en cualquier condición de carga. Haciendo una aproximación lineal de esta respuesta alrededor del punto de trabajo y definiendo una constante dinámica k D , la resolución de la ecuación diferencial de movimiento predice un valor de la frecuencia mucho más cercano al medido. Una posterior corrección heurística, que toma en cuenta la masa del resorte, hace disminuir aún más la discrepancia relativa. Nuestro análisis concluye que los fenómenos disipativos son insignificantes comparados con la elasticidad y la inercia del sistema estudiado. Este problema y su solución muestran la necesidad de discutir en las aulas la modelización de este fenómeno físico. Palabras clave: oscilaciones, sistema masa-resorte, ley de Hooke, no-linealidad.On university introductory courses, while studying the frequency of free oscillations of a vertical spring-mass system in the case of negligible dissipative forces and massless spring, such a frequency can be simply calculated as the square root of the relationship between the local gravity and the spring elongation. However, when an actual spring is used, the measured frequencies differ markedly below those predicted by the model. The analysis of the static response of the spring to the load reveals that it does not obey Hooke's law and prevents defining a single elastic constant k E in any load condition. By making a linear approximation of this response around the point of work and defining a dynamic constant k D , the resolution of the differential motion equation predicts a value of the frequency much closer to the measured one. A subsequent heuristic correction, which takes into account the mass of the spring, further decreases the relative discrepancy. Our analysis concludes that dissipative phenomena are insignificant compared to the elasticity and inertia of the system studied. This problem and its solution show the need to discuss in the classroom the modeling of this physical phenomenon. Keywords: oscillations, spring-mass system, Hooke's law, non-linearity. IntroducciónEn los libros de texto introductorios de Física de nivel universitario [1-4], la elasticidad de los materiales, en general, es ejemplificada por un resorte helicoidal lineal; es decir, la fuerza ejercida sobreéste es proporcional a la longitud de su estiramiento o de su compresión. La ley de la fuerza como función del estiramiento es conocida como ley de Hooke...

Dificultades conceptuales y matemáticas del modelo convencional de oscilaciones amortiguadas

“…Algunos trabajos estudian los efectos no lineales de la "fricción interna" de los péndulos, ya sea en el soporte o en masas viscosas colocadas en el interior del cuerpo suspendido [10,11]. Otros controlan experimentalmente la validez de hipótesis y modelos en casos específicos [12,13], o analizan la influencia de ciertas características geométricas de los sistemas en los parámetros físicos del movimiento [14,15], o bien la influencia de unos parámetros sobre otros y sus respuestas no lineales [16].…”