Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші-Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності. Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші-Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах.
Formulation of the problem. Analysis of the issue of including the topic "The simplest functional equations" in the model curricula for studying the subject "Algebra and the beginnings of analysis" for specialized classes with in-depth study of mathematics. A model curriculum studies the approximate sequence of achieving the expected learning outcomes, the content of the subject or integrated course, and the types of students’ educational activities. The inclusion of this topic aims to start a creative understanding of functional relationships existing in real systems and processes, in particular, ecological, economic, and social ones. Materials and methods. Theoretical method of analysis of methodical and educational literature on the researched issue; comparative analysis to understand different views on the problem; systematization and generalization to create recommendations for the content of the proposed topic, as well as formulating conclusions and integrating the pedagogical experience of authors who teach relevant disciplines in educational institutions of various levels. Results. The possible content of the topic "The simplest functional equations" in the model programs for studying the subject "Algebra and the beginnings of analysis", examples for an explanation by the teacher, and confirmation by students are proposed. For some examples, different approaches to their solution are proposed; convenient tables are provided for students to find partial solutions to some types of functional equations. Conclusions. The authors believe that the topic "The simplest functional equations" will be useful and acceptable for studying within the scope of the subject "Algebra and the beginnings of analysis" by students of specialized classes with an in-depth study of mathematics. Within the eleven-year school education, of course, it was impossible to find time to study this topic due to the saturation and density of the material necessary for study. But in the twelve-year New Ukrainian School, marked by a deeper differentiation of specialized education, the topic "The simplest functional equations" can strengthen the fundamentality of mathematical education in classes with in-depth study of mathematics, computer science, etc. Further research in this direction may concern the method of solving the simplest recurrent equations.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.