В статье дается обзор недавних исследований слабых эллиптических и параболических уравнений для мер с неограниченными и, возможно, сингулярными коэффициентами. Изучаются существование и дифференцируемость плотностей, обсуждаются нижние и верхние оценки для них. Исследуются полугруппы, связанные с эллиптическими операторами второго порядка в пространствах L p относительно инфинитезимально инвариантных мер. Библиография: 181 название. Ключевые слова: эллиптическое уравнение, параболическое уравнение, стационарное распределение диффузионного процесса, переходная вероятность.
Для диффузионных процессов в R d с локально неограничен ными коэффициентами сноса получено достаточное условие стро гой положительности переходных вероятностей. Для этого рас сматриваются параболические уравнения вида j£f*/x = 0 относи тельно мер на R d х (0,1) с оператором ifu := d t u + d Xl {a ij 8 Xj u) + b*d Xi u. Показано, что если коэффициент диффузии А = (a lJ ') достаточно регулярен, а коэффициент сноса Ъ = (Ь г) удовлетворяет условию ехр(/ф| 2) Е L 1 1 oc (/x), причем мера \i неотрицательна, то \х обладает непрерывной плотностью Q(X, t), которая строго положительна при t > т, если она не равна нулю тождественно при £ < т. Получены применения к конечномерным проекциям стационарных распреде лений и переходных вероятностей бесконечномерных диффузий. Ключевые слова и фразы: плотность переходной вероятности, стационарное распределение, параболическое уравнение, бесконеч номерная диффузия. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механикоматематический факультет,
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.