We calculate Jordan-Kronecker invariants for semidirect sums of Lie algebras sl(n) and gl(n) with k copies of R n with respect to their standard representation for cases where k > n or n is a multiple of k.
В теории бигамильтоновых систем известна обобщенная гипотеза Мищенко-Фоменко. В гипотезе говорится о существовании полных наборов полиномиальных функций в инволюции относительно пары естественно возникающих пуассоновых структур на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Данная гипотеза тесно связана с методом сдвига аргумента, предложенным А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в [10]. В исследованиях, посвященных данной гипотезе, была обнаружена связь существования полного набора в биинволюции с алгебраическим типом пучка согласованных скобок Пуассона, заданного линейной и постоянной скобкой. Числа, описывающие алгебраический тип пучка скобок общего положения на двойственном пространстве к алгебре Ли, называются инвариантами Жордана-Кронекера алгебры Ли. Понятие инвариантов Жордана-Кронекера было введено А. В. Болсиновым и P. Zhang в [2]. Для некоторых классов алгебр Ли (например, полупростых алгебр Ли и алгебр Ли малой размерности) инварианты Жордана-Кронекера удалось вычислить, но в общем случае вопрос вычисления инвариантов Жордана-Кронекера для произвольной алгебры Ли является открытым. Задача вычисления инвариантов Жордана-Кронекера часто упоминается среди наиболее интересных нерешенных задач теории интегрируемых систем [4, 5, 6, 11].В статье вычислены инварианты Жордана-Кронекера для серии 𝐵𝑠𝑝(2𝑛) и на каждой алгебре серии построены полные наборы полиномов в биинволюции. Также вычислены инварианты Жордана-Кронекера для борелевских подалгебр 𝐵𝑠𝑜(𝑛) для любых 𝑛. Таким образом, вместе с результатами, полученными в [2] для 𝐵𝑠𝑙(𝑛), данная статья составляет решение задачи вычисления инвариантов Жордана-Кронекера борелевских подалгебр классических алгебр Ли.
In this paper, we construct complete sets of polynomials in bi-involution on nilpotent Lie algebras of dimension 7 in the list due to Gong. Thus we verify the generalized Mishchenko-Fomenko conjecture for all algebras in this list.
Bibliography: 14 titles.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.