The transverse oscillations of a beam carrying a discrete mass in a span are studied. The mathematical model of oscillations is presented as a boundary value problem from the main partial differential equation of the fourth order hyperbolic type in the spatial coordinate, of the second order in time, the boundary conditions and the conditions for the sections‘ conjugation. The technical theory of the rods bending oscillations, based on Bernoulli‘s hypothesis, is used. The spectral problem of determining the eigenvalues and eigenmodes of oscillations (the Sturm-Liouville problem), necessary for analyzing the problems of forced oscillations, is considered. It is argued that the solution by analytical methods is impractical due to the large volume of transformations and cumbersome calculations. Methods of separation of variables and finite differences are used. An algorithm for solving the problem, implemented in the Matlab software environment in the form of high-precision graphic-analytical calculations, is developed. The conclusions for practical applications of the results are made.
УДК 519.63 c М. Х. Бештоков, В. А. Водахова НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью O(h 2 +τ 2). Ключевые слова: нелокальные краевые задачи, априорная оценка, нестационарное уравнение конвекции-диффузии, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная производная Капуто.
В работе исследованы краевые задачи с внутреннекраевым смещением для модельного смешанно-волнового уравнения, которые являются обобщениями задачи Гурса и задач с данными на противоположных характеристиках. Показано, что при определенных условиях на заданные функции решение исследуемых задач существует, единственно и выписывается в явном виде. The paper investigates boundary value problems with an internal boundary displacement for a model mixed-wave equation, which are generalizations of the Goursat problem and problems with data on opposite characteristics. It is shown that, under certain conditions for given functions, the solution to the problems under study exists, is unique, and is written out in an explicit form.
Важным этапом в становлении теории краевых задач стали предложенные А.М. Нахушевым в 1969 году нелокальные задачи нового типа, впоследствии названные у нас краевыми задачами со смещением, а за рубежом — задачами (проблемами) Нахушева. Они являются обобщением задачи Трикоми, а так же содержат широкий класс корректных самосопряженных задач. Эти задачи сразу вызвали большой интерес многих авторов. За последние годы исследования задач со смещением для уравнений смешанного типа ведутся особенно интенсивно. Но в этих работах краевые условия, как правило, содержат классические операторы, в то время как нелокальным краевым задачам, содержащим операторы более сложной структуры и операторы дробного интегро-дифференцирования. Настоящая статья посвящена исследованию вопроса однозначной разрешимости краевых задач со смещением для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа. Сформулированы корректные краевые задачи со смещением для уравнения смешанного типа. В данной работе исследованы вопросы однозначной разрешимости задач со смешением для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа в смешанной области Ω, ограниченной в полуплоскости y>0 гладкой кривой Жордана, а в полуплоскости y<0 характеристиками уравнения (1). При ограничениях неравенственного типа на известные функции и различных порядках операторов дробного дифференцирования в краевом условии доказаны теоремы единственности. Существование решения задач доказывается путем редукции задач к уравнениям Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которых следует из единственности решения задач. An important stage in the development of the theory of boundary value problems was the proposed by A.M. Nakhushev in 1969, non-local problems of a new type, which were later called in our country boundary value problems with a shift, and abroad – Nakhushev problems (problems). They are a generalization of the Tricomi problem, and also contain a wide class of well-posed self-adjoint problems. These problems immediately aroused great interest of many authors. In recent years, studies of problems with a shift for equations of mixed type have been carried out especially intensively. But in these works, the boundary conditions, as a rule, contain classical operators, while non-local boundary value problems contain operators of a more complex structure and operators of fractional integro-differentiation. In this paper, we study the unique solvability of problems with mixing for an equation of mixed elliptic-hyperbolic type. Under constraints of unequal type on known functions and different orders of fractional differentiation operators in the boundary condition, uniqueness theorems are proved. The existence of a solution to the problems is proved by reducing the problems to Fredholm equations of the second kind, the unconditional solvability of which follows from the uniqueness of the solution to the problems.
Первая краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Аллера в области гиперболичности
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.