Η εύρεση όμοιων αντικειμένων είναι ένα γενικό υπολογιστικό πρόβλημα που χρησιμεύει ως υπορουτίνα για πολλά προβλήματα μηχανικής μάθησης όπως η συσταδοποίηση. Με την πρόσφατη αύξηση της διαθεσιμότητας πολύπλοκων συνόλων δεδομένων, αυξήθηκε η ανάγκη για την ανάλυση δεδομένων υψηλών διαστάσεων. Παρομοίως, παρατηρείται αύξηση ενδιαφέροντος στις δομές δεδομένων για επεξεργασία καμπυλών, λόγω της αυξανόμενης διαθεσιμότητας και ποιότητας των δεδομένων τροχιάς από τα κινητά τηλέφωνα, τους αισθητήρες GPS, την τεχνολογία RFID και την ανάλυση βίντεο. Σε αυτή τη διατριβή, ερευνάμε προβλήματα εγγύτητας για διανύσματα μεγάλης διάστασης και πολυγωνικές καμπύλες. Ο φυσικός τρόπος μέτρησης της ανομοιότητας μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι η αποτίμηση μιας συνάρτησης νόρμας για τη διανυσματική διαφορά των δύο διανυσμάτων. Δημοφιλή παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων απόστασης είναι η Ευκλείδεια απόσταση και η απόσταση Μανχάταν. Παρομοίως, υπάρχουν αρκετές καλά μελετημένες συναρτήσεις απόστασης για πολυγωνικές καμπύλες, με κύριο παράδειγμα την απόσταση Fréchet. Το βασικό πρόβλημα, και για τους δύο τύπους δεδομένων, είναι το πρόβλημα αναζήτησης του κοντινότερου γείτονα. Δεδομένου ενός συνόλου αντικειμένων P , στοχεύουμε σε μια δομή δεδομένων που υποστηρίζει ερωτήματα κοντινότερου γείτονα. Ένα νέο αντικείμενο q δίνεται και η δομή δεδομένων επιστρέφει το ομοιότερο αντικείμενο από το P . Όταν η πολυπλοκότητα των δεδομένων είναι υψηλή, μια λύση με ακρίβεια είναι σπάνια αποδοτική. Αυτό οδήγησε τους ερευνητές στον πιο εύκολο στόχο του σχεδιασμού προσεγγιστικών λύσεων. Το μεγαλύτερο μέρος αυτής της εργασίας είναι αφιερωμένο στο πρόβλημα του προσεγγιστικού κοντινότερου γείτονα και στο πρόβλημα του προσεγγιστικού κοντινού γείτονα: δεδομένου ενός συνόλου αντικειμένων P και μιας παραμέτρου ακτίνας r, η δομή δεδομένων επιστρέφει ένα αντικείμενο στο P (εφόσον υπάρχει) το οποίο είναι κατά προσέγγιση σε απόσταση r από κάποιο αντικείμενο ερώτησης q. Ένα άλλο βασικό ερώτημα είναι αυτό του υπολογισμού ενός υποσυνόλου καλών εκπροσώπων για ένα σύνολο δεδομένων. Αυτό το υποσύνολο παρέχει συχνά επαρκείς πληροφορίες για κάποιο υπολογιστικό πρόβλημα και επομένως απλοποιεί πιθανώς τις υπάρχουσες λύσεις. Τέλος, μελετάμε τους χώρους εύρους για πολυγωνικές καμπύλες: φράσουμε τη διάσταση Vapnik-Chervonenkis για εύρη που ορίζονται από συναρτήσεις απόστασης για καμπύλες. Τα αποτελέσματα αυτά έχουν άμεσες συνέπειες σε προβλήματα μέτρησης εύρους και στην εκτίμηση πυκνότητας. Η διατριβή έχει δομηθεί ως εξής. Εισάγουμε έναν νέο ορισμό εμβυθίσεων “χαμηλής ποιότητας” για μετρικούς χώρους. Απαιτεί ότι, για κάποιο σημείο ερωτήματος q, υπάρχει ένας προσεγγιστικός κοντινότερος γείτονας μεταξύ των προ-εικόνων των k > 1 προσεγγιστικών κοντινότερων γειτόνων στο χώρο προορισμού. Εστιάζοντας σε Ευκλείδειους χώρους, χρησιμοποιούμε τυχαίες προβολές à la Johnson Lindenstrauss προκειμένου να ανάγουμε το αρχικό πρόβλημα σε ένα πρόβλημα όπου η διάσταση του χώρου είναι αντιστρόφως ανάλογη του k. Αυτό οδηγεί σε απλές δομές δεδομένων, οι οποίες είναι αποδοτικές ως προς τον απαιτούμενο χώρο αποθήκευσης και υποστηρίζουν ερωτήματα σε υπογραμμικό χρόνο. Χρησιμοποιώντας ιδιότητες συγκεκριμένων συναρτήσεων LSH, εκμεταλλευόμαστε μια παρόμοια απεικόνιση στον χώρο Hamming. Το πρωταρχικό μας κίνητρο είναι το πρόβλημα πλησιέστερου γείτονα στον μετρικό χώρο l1, για σημεία με χαμηλή εγγενή διάσταση. Η διάσταση διπλασιασμού είναι μια καθιερωμένη έννοια εγγενούς διάστασης των σημείων. Εμβυθίσεις που διατηρούν τον κοντινότερο γείτονα υπάρχουν τόσο για l2 όσο και για l1 μετρικές, καθώς και για υποσύνολα του l2 με χαμηλή διάσταση διπλασιασμού. Προτείνουμε μια τεχνική μείωσης διάστασης που διατηρεί τον κοντινό γείτονα για υποσύνολα του l1 με χαμηλή διάσταση διπλασιασμού. Τα r-δίκτυα προσφέρουν ένα ισχυρό εργαλείο στην υπολογιστική και τη μετρική γεωμετρία, δεδομένου ότι χρησιμεύουν ως υποσύνολο καλών αντιπροσώπων: όλα τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση r από κάποιο σημείο του r-δικτύου και όλα τα κέντρα του r-δικτύου είναι σε απόσταση τουλάχιστον r μεταξύ τους. Εστιάζουμε σε χώρους μεγάλης διαστάσεως και παρουσιάζουμε έναν νέο πιθανοτικό αλγόριθμο ο οποίος υπολογίζει αποτελεσματικά προσεγγιστικά r-δίκτυα σε Ευκλείδειους χώρους. Ο αλγόριθμός μας ακολουθεί μια πρόσφατη προσέγγιση του Valiant για τη αναγωγή του προβλήματος στην αποτίμηση πολλαπλών σημείων πολυωνύμων.Προτείνουμε απλές και αποτελεσματικές δομές δεδομένων, βασισμένες σε τυχαίες προβολές, για μια έννοια της απόστασης μεταξύ διακριτοποιημένων καμπυλών, η οποία γενικεύει την διακριτή απόσταση Fréchet και την απόσταση Dynamic Time Warping. Προσφέρουμε τις πρώτες δομές δεδομένων για την εύρεση του κοντινότερου γείτονα με αυθαίρετα καλό συντελεστή προσέγγισης, με ταυτόχρονη αύξηση του χώρου σε σχέση με τις υπάρχουσες μεθόδους. Προτείνουμε δομές δεδομένων, βασισμένες σε τυχαίες διαμερίσεις του χώρου, για την διακριτή απόσταση Fréchet όταν καμπύλες επερώτησης είναι μικρού μήκους. Οι δομές δεδομένων είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικές όταν τα ερωτήματα είναι πολύ μικρότερα από τις πολυγωνικές καμπύλες που ανήκουν στο σύνολο δεδομένων. Επίσης, μελετάμε το πρόβλημα για αυθαίρετους μετρικούς χώρους με χαμηλή διάσταση διπλασιασμού. Η διάσταση Vapnik-Chervonenkis παρέχει μια έννοια πολυπλοκότητας για συστήματα συνόλων ή εύρους. Αναλύουμε συστήματα εύρους όπου το βασικό σύνολο είναι ένα σύνολο πολυγωνικών καμπυλών στον Ευκλείδειο χώρο και εύρη είναι μετρικές μπάλες που ορίζονται από συναρτήσεις αποστάσεων για καμπύλες, όπως η απόσταση Fréchet και η απόσταση Hausdorff. Ακολουθούν άμεσες συνέπειες εφαρμόζοντας γνωστά αποτελέσματα δειγματοληψίας.
Το διδακτορικό αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος εφαρμόζεται η Θεωρία Δύο Όρων και αναπτύσσεται ένα εμπειρικό μοντέλο για τη μελέτη ιδιοτήτων πεπερασμένων στοιχειοκεραιών διπόλων. Η Θεωρία Δύο Όρων είναι μία προσεγγιστική λύση των ολοκληρωτικών εξισώσεων για τα ρεύματα σε στοιχειοκεραίες παράλληλων, ηλεκτρικά μικρών, κυλινδρικών διπόλων. Η θεωρία για τις πεπερασμένες στοιχειοκεραίες περιέχεται σε πρόσφατο βιβλίο. Στην παρούσα διατριβή η Θεωρία Δύο Όρων επεκτείνεται για την περίπτωση ομοιόμορφων γραμμικών στοιχειοκεραιών που έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Υποδεικνύονται συγκεκριμένα επιθυμητά χαρακτηριστικά των τύπων που αναπτύσσονται, οι οποίοι μελετώνται λεπτομερώς όσον αφορά το φαινόμενο των συντονισμών. Επιπλέον παρουσιάζονται αντιπροσωπευτικά αριθμητικά αποτελέσματα που δείχνουν τους συντονισμούς και τα συσχετιζόμενα με αυτούς φαινόμενα. Αυτή η μελέτη είναι ανάλογη με παλαιότερες που έχουν γίνει για τις κυκλικές στοιχειοκεραίες. Οι ομοιότητες και οι διαφορές μεταξύ κυκλικών και άπειρων γραμμικών στοιχειοκεραιών επισημαίνονται και σχολιάζονται εξίσου. Τα αποτελέσματα που εξήχθησαν με εφαρμογή της Θεωρίας Δύο Όρων χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση μίας άπειρης γραμμικής στοιχειοκεραίας, ηλεκτρικά μικρών διπόλων, με μία στοιχειοκεραία ψευδοδυναμικών (το ψευδοδυναμικό είναι ένα κβαντο-μηχανικό ανάλογο του διπόλου). Τα αποτελέσματα της μοντελοποίησης μπορούν να βρουν εφαρμογή στην ανάλυση πεπερασμένων γραμμικών ή/και επίπεδων στοιχειοκεραιών διπόλων με στόχο τη διερεύνηση διαφόρων ιδιοτήτων των πεπερασμένων στοιχειοκεραιών, όπως είναι οι συντονισμοί, οι δευτερεύοντες λοβοί και τα φαινόμενα άκρων. Για ένα μεγάλο εύρος τιμών των παραμέτρων αποδεικνύεται ότι τα ψευδοδυναμικά μπορούν να περιγράψουν ποσοτικά όλες τις προαναφερόμενες ιδιότητες των πραγματικών πεπερασμένων στοιχειοκεραιών. Επίσης σχολιάζονται συγκεκριμένες δυνατότητες επέκτασης του μοντέλου σε στοιχειοκεραίες κυματοδηγών. Το δεύτερο τμήμα της διδακτορικής διατριβής σχετίζεται με τη Μέθοδο Βοηθητικών Πηγών (Method of Auxiliary Sources-MAS). Κατά την εφαρμογή της MAS σε προβλήματα σκέδασης, από τέλειους αγωγούς, τοποθετούνται υποθετικές ρευματικές πηγές στο εσωτερικό του αγωγού. Οι πηγές αυτές προσδιορίζονται από την κατάλληλη οριακή συνθήκη στην τέλεια αγώγιμη επιφάνεια. Κατόπιν το σκεδαζόμενο πεδίο βρίσκεται από τις γνωστές πλέον πηγές. Για το απλό δισδιάστατο πρόβλημα σκέδασης από άπειρο κυκλικό κύλινδρο, ο οποίος φωτίζεται από νηματοειδές ρεύμα, προσφάτως έχει δειχτεί αναλυτικά ότι είναι δυνατόν να αποκλίνουν τα ρεύματα των βοηθητικών ρευμάτων (για να είναι ακριβής αυτή η πρόταση, πρέπει να κανονικοποιηθούν τα ρεύματα) και ταυτόχρονα το πεδίο να συγκλίνει. Έχει εξάλλου δειχτεί - μέσω αριθμητικών διερευνήσεων - ότι η προαναφερθείσα απόκλιση εμφανίζεται με τη μορφή αφύσικων, γρήγορων ταλαντώσεων. Στην παρούσα εργασία, διερευνώνται τέτοια φαινόμενα ενδελεχώς, δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στις ταλαντώσεις: για ένα τέλεια αγώγιμο επίπεδο, φωτιζόμενο από νηματοειδές ρεύμα, επιδεικνύεται για μία ακόμη φορά η δυνατότητα να εμφανίζονται αποκλίνοντα, ταλαντούμενα ρεύματα τα οποία παράγουν ένα συγκλίνον πεδίο. Αναπτύσσεται ένας ασυμπτωτικός τύπος για τα ρεύματα που ταλαντώνονται, ο οποίος αποκαλύπτει με λεπτομέρεια τη φύση των ταλαντώσεων. Το πρόβλημα του κυκλικού κυλίνδρου επανεξετάζεται, για να αναπτυχθεί ένας παρεμφερής ασυμπτωτικός τύπος. Γίνεται λόγος για τα λάθη στρογγυλοποίησης, καθώς και για πιθανές γενικεύσεις σε σκεδαστές άλλων σχημάτων. Η μελέτη αυτή είναι σε πολύ μεγάλο βαθμό αναλυτική. Παράλληλα, οι αναλυτικές προβλέψεις επιβεβαιώνονται και εμπλουτίζονται με αριθμητικά αποτελέσματα.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.