In the paper the relationship between pure geometrical concepts of the theory of affine connections, physical concepts related with non-linear theory of distributed defects and concepts of non-linear continuum mechanics for bodies with variable material composition is discussed. Distinguishing feature of the bodies with variable material composition is that their global reference shapes can not be embedded into Euclidean space and have to be represented as smooth manifolds with specific (material) connection and metric. The method for their synthesis based on the modeling of additive process are proposed. It involves specific boundary problem referred to as evolutionary problem. The statement of such problem as well as illustrative exact solutions for it are obtained. Because non-Euclidean connection is rarely used in continuum mechanics, it is illustrated from the perspective of differential geometry as well as from the point of view, adopted in the theory of finite incompatible deformations. In order to compare formal structures defined within the models of solids with variable material composition with their counterpart in non-linear theory of distributed defects, a brief sketch for latter is given. The examples for cylindrical and spherical non-linear problems are presented. The correspondences between geometrical structures that defines material connection, fields of related defect densities and evolutionary problems for bodies with variable material composition are shown.
The present paper studies the evolutionary problem for self-stressed multilayered spherical shells. Their stress-strain state is characterized by incompatible local finite deformations that arise due to the geometric incompatibility of the stress-free shapes of the individual layers with each other. In the considered problem, these shapes are thin-walled hollow balls that cannot be assembled into a single solid without gaps or overlaps. Such an assembly is possible only with the preliminary deformations of individual layers, which cause self-balanced stresses in them. For multilayered structures with a large number of layers, a smoothing procedure is proposed, as a result of which the piecewise continuous functions defining the preliminary deformation of the layers are replaced by continuous distributions. The reference stress-free shape of a body constructed in this way is defined within the framework of geometric continuum mechanics as a manifold with a non-Euclidean (material) connection. For the problem in question, this connection is determined by the metric tensor and its deviation from the Euclidean connection is characterized by the scalar curvature. Generalized representations for Cauchy and Piola stresses are also obtained by the methods of geometric continuum mechanics. Computations, provided for the discrete structure and body with a non-Euclidean reference shape defined by the approximation of deformation parameters, numerically illustrate the convergency of the solution for the discrete model to corresponded solution for the continuous problem if the number of layers is increasing while their total thickness is constant. In modelling it is assumed that the material of the layers is compressible, homogeneous, hyperelastic, and determined by the first-order Mooney - Rivlin elastic potential. Individual layerwise finite deformations are supposed to be centrally symmetric.
Лычева T.Н., Лычев С.A. Спектральные разложения в динамических задачах вязкоупругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2016Механика. - . -№ 4. -С. 120-150. DOI: 10.15593/perm.mech/2016 Теоретические зависимости, получаемые из решений динамических задач вяз-коупругости, представляют собой эффективную основу для экспериментальной ди-намической идентификации реологических свойств материалов. Для построения таких зависимостей предпочтительными являются замкнутые (записываемые в фор-ме сходящихся рядов или интегралов) решения модельных начально-краевых задач, поскольку они, в отличие от решений, получаемых численными методами, допускают строгие оценки погрешности. Однако построение аналитических решений сопряжено с рядом трудностей: 1) Как правило, принимается гипотеза о пропорциональности операторов релаксации, соответствующих первому и второму модулям Ламе, что равносильно гипотезе о постоянном коэффициенте Пуассона; это в значительной мере снижает общность рассматриваемых моделей. 2) Представление решений трехмерных задач в форме разложений по собственным функциям приводит к необ-ходимости учета большого числа собственных значений, которые, в подавляющем большинстве задач, могут быть найдены только численно, как корни трансцендент-ных уравнений; при этом велика вероятность пропуска близко расположенных и кратных корней. 3) Построенные ряды медленно сходятся.В настоящей работе предлагаются способы преодоления этих трудностей. Ре-шения начально-краевых задач представляются в форме спектральных разложений, но в отличие от классического метода Фурье разложения ведутся по биортогональным системам собственных функций взаимно сопряженных пучков дифференциальных операторов, определяемых обобщенными задачами Штурма-Лиувилля с полиноми-альным вхождением спектрального параметра. Это позволяет отказаться от гипотезы о пропорциональности операторов релаксации. Получены алгоритмически эффективные соотношения для компонент разложения, определяющие нормировку собственных функций, координатные функции, а также асимптотические формулы для начальных приближений корней частотного уравнения, исключающие их пропуск при вычислениях, в том числе в случаях кратных корней. Предлагается энергетическое ранжирование элементов спектрального разложения, позволяющее достигать требуемой точности вычислений на частичных суммах невысокого порядка. © ПНИПУ Ключевые слова:линейная вязкоупругость, модели темпового типа, динамика, замкнутые решения, спектральные разложения, биортогональность, асимптотические представления для собственных значений.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.