1. Unter den schwingungsfahigen Systemen mit Reibung sind viele, die durch periodischen Antrieb von j e d e r Anfangsphase aus zu d e r s e l b e n Schwingung aufgeschaukelt werden. Wie sieht mannun der Bewegungsmannigfaltigkeit an, ob sie eine erzwungene Schwingung enthiilt, zu der alle anderen Bewegungen hinstreben? Dafiir lafit sich ein Kriterium angeben, mit dem man unter Urnstanden zum Ziele kommt, wie wir durch Beispiele belegen konnen. Man kann es aus der Abhandlung [l] von E.TREFFTZ entnehmen; wed es dort aber nicht ausgesprochen wird, wollen wir das hier nachholen.Wir bringen auch einen kurzen Beweis und folgen dabei dem von Trefftz s kizziert en Gedankengang . 2. Wir betrachten einen.n-fachen Schwinger, der einer periodischen Fremderregung unterworfen ist ; die Erregerperiode sei T. Die Ausschlage bezeichnen wir mit u l ( t ) , . . . , un(t) und die Geschwindigkeiten mit u l ( t ) = h l ( t ) , . . . , un(t) = h,,(t). W;lrd vorgeschrieben: Ul(t0) = GI, . . . , un(to) = Gn; u,(to) = tl, . . . , un(to) =in, so wollen wir sagen: Den Schwinger bringt zur Zeit to die Anfangsstorung (Gl, . . , , un; ul, . . . ,in) in Gang. Wir nehmen an, daD der Bewegungsverlauf im Zeitabschnitt to ---to + T durch sie eindeutig bestimmt ist und von ihr stetig abhangt. Diese Voraussetzung trifft beispielsweise dann zu, wenn die Funktionen u l ( t ) , . . . , un(t) in dem betrachteten Interval1 zweimal differenzierbar sind und einem System von Differentialgleichungen geniigen : 0 0 d2 U" dta _ _ -dau, dta -fl(u1, * -.; ~1 , . --; t ) , . -. 3 -f n ( u I , . * 0 ; ~1 9 . -. ; t ) , --wobei die (in t periodischen) Funktionen fl, . . . , f,, in jedem (2n + 1)-dimensionalen Quader I ull d U , . . . ; Iul I 5 V , . . . ; 0 5 t S T die Bedingungen des Existenz-und Eindeutigkeitssatzes von PICARD-LINDELOF (6. [2]) erfullen. Da eine Verschiebung des Zeitursprunges um ein ganzzahliges Vielfaches von T unwesentlich ist, hat das schwingungsfahige System die Eigenschaft :1st { u l ( t ) , . . . , un(t)} eine Bewegung, so werden auch durch {ul(t + kT), . . . , u,(t + k T ) } (k = f 1, f 2, . . .) Bewegungen beschrieben. { u ? ( t ) , . . . , u:(t)} heiDt (nach Trefftz) s t a b i l , wenn sie den beiden Anforderungen geniigt :
Die Bewegung