Abstract.A new multiscale coupling method is proposed for elliptic problems with highly oscillatory coefficients with a continuum of scales in a subset of the computational domain and scale separation in complementary regions of the computational domain. A discontinuous Galerkin (DG) finite element heterogeneous multiscale method (FE-HMM) is used in the region with scale separation, while a continuous standard finite element method is used in the region without scale separation. The use of a DG-FE-HMM method allows for a flexible meshing of the different models in the overlapping region. The unknown boundary conditions at the interfaces are obtained by minimizing the error of the two models in the overlapping region. We prove the well-posedness of both the continuous and discrete coupling problems and establish convergence of the multiscale method towards the fine scale solution. Since in the region with scale separation we obtain an approximation at a cost independent of the smallest scale in the problem, the computational cost of the multiscale method is significantly smaller than a fine scale solver over the whole computational domain, while the algorithm allows us to treat situations for which standard numerical homogenization methods do not apply.
An optimization based algorithm is proposed for solving elliptic problems with highly oscillatory coefficients that do not exhibit scale separation in a subregion of the physical domain. The given method, written as a constrained minimization problem couples a numerical homogenization method in the subregion of the physical domain with scale separation with a fine scale solver in subregions without scale separation. The unknown boundary conditions of both problems in the overlap region are determined by minimizing the discrepancy of the corresponding solutions in this overlap.Un algorithme basé sur le principe d'optimisation est proposé pour résoudre des problèmes elliptiquesà coefficients oscillants sans séparation d'échelles dans une région du domaine. La méthode, qui s'écrit comme un problème de minimisation sous contraintes, couple une méthode d'homogénéisation numérique dans la région avec séparation d'échelles avec une méthode ravec discrétisation fine dans les régions sans séparation d'échelles. Les conditions au bord des deux problèmes sur l'intersection des deux domaines sont déterminées par la minimisation de la différence entre les deux solutions dans le domain commun. Version française abrégéeDans ce papier, nous présentons une méthode basée sur le principe d'optimisation inspirée de travaux récents [OBL13] sur un couplage atomistique-à-continu. Considérons le problème elliptique (1) avec a ∈ (L ∞ (Ω)) d×d un tenseur oscillant, symmétrique, borné et uniformément elliptique. L'homogénéisation classique [BLP78, JKO94] nous permet d'obtenir une solution effective u 0 d'un problème similaireà (1) avec un tenseur homogénéisé a 0 au lieu de a. Un grand nombre de méthodes d'homogénéisation numérique ontété développées ces dernières années (voir les références de [Abd09]) afin d'approximer uà un coût indépendant de l'échelle la plus fine. Cependant, les coefficients du tenseur doiventêtre localement périodiques ou avoir une séparation d'échelles. Nous nous intéressonsà un problème où l'homogénéisation numérique ne peut pasêtre appliquée dans l'ensemble du domaine et doitêtre couplée avec une méthode capable de résoudre la plus fineéchelle. Des problèmes de ce type ont déjàété traités dans la littérature Email addresses: assyr.abdulle@epfl.ch (Assyr Abdulle), orane.jecker@epfl.ch (Orane Jecker). URLs: http://anmc.epfl.ch/abdulle.html (Assyr Abdulle), http://anmc.epfl.ch/jecker.html (Orane Jecker).avec l'approche dite globale-à-locale, dans laquelle les conditions aux bords des régionsàéchelles fines sont données par la solution homogénéisée [OdV00]. Nous mentionnons aussi la méthode récente [BaL11] basée sur des projections L 2 de la solution homogénéisée sur des espaces créés par des solutions de problèmes locaux. Finalement, nous rappelons que notre approche est basée sur les travaux effectués sur le couplage entre atomistique et continu [OBL13]. Soit ω Ω, une région où l'homogénéisation ne s'applique pas, nous proposons de résoudre deux problèmes sur ω et ω 2 = Ω \ ω. Afin d'assurer continuité des ...
Abstract. This paper gives numerical experiments for the Finite Element Heterogeneous Multiscale Method applied to problems in linear elasticity, which has been analyzed in [A. Abdulle, Math. Models Methods Appl. Sci. 16, 2006]. The main results for the FE-HMM a priori errors are stated and their sharpness are verified though numerical experiments.
In this paper, we discuss partial differential equations with multiple scales for which scale resolution is needed in some subregions, while a separation of scale and numerical homogenization is possible in the remaining part of the computational domain. Departing from the classical coupling approach that often relies on artificial boundary conditions computed from some coarse grain simulation, we propose a coupling procedure in which virtual boundary conditions are obtained from the minimization of a coarse grain and a fine-scale model in overlapping regions where both models are valid. We discuss this method with a focus on interface control and a numerical strategy based on non-matching meshes in the overlap. A fully discrete a priori error analysis of the heterogeneous coupled multiscale method is derived, and numerical experiments that illustrate the efficiency and flexibility of the proposed strategy are presented.
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