On the base of a 1D Shrödinger equation the non-linear first-order differential equation (Ricatti type) for a quantum wave impedance function was derived. The advantages of this approach were discussed and demonstrated for a case of a single rectangular barrier. Both the scattering and the bound states problem were reformulated in terms of a quantum wave impedance and its application for solving both these problems was considered. The expressions for a reflection and a transmission coefficient were found on the base of a quantum wave impedance approach.

The formula for the temperature dependence of the effective mass of a 4 He atom in the superfluid and normal phases is obtained. This expression for the effective mass allows one to eliminate infra-red divergences, being applicable at all temperatures, except for a narrow fluctuation region 0.97 T /Tc ≤ 1. In the high and low temperature limits, as well as in the interactionless limit, the obtained expression reproduces the well known results. The temperature dependence of the heat capacity and the phase transition temperature Tc ≈ 2.18 K are calculated, by using the formula obtained for the effective mass. In the framework of the approach proposed in this work, the small critical index η is determined in the random phase approximation. The obtained value corresponds to the well known result.K e y w o r d s: liquid 4 He, effective mass, critical temperature, critical indices.

The detailed mean-field treatment of the Bose polaron problem in two and three dimensions is presented. Particularly, assuming that impurity is immersed in the dilute Bose gas and interacts with bosons via the hard-sphere two-body potential, we calculate the low-momentum parameters of its spectrum, namely, the binding energy and the effective mass. The limits of applicability of the mean-field approach to a problem of mobile impurity in Bose-Einstein condensates are discussed by comparing our results to the Monte Carlo simulations data.

We revised the large-N expansion for a three-dimensional Bose system with shortrange repulsion in normal phase. Particularly, for the model potential that is characterised only by the s-wave scattering length a the full numerical calculations of the critical temperature in the 1/N -approximation as a function of the gas parameter an 1/3 are performed. Additionally to the well-known result in the dilute limit we estimated analytically the leading-order strong-coupling behavior of the Bose-Einstein condensation transition temperature. It is shown that the critical temperature shift of the non-ideal Bose gas grows at small an 1/3 , reaches some maximal value and then falls down becoming negative.

In this paper we calculate kinetic, potential and full energy with three-and four-particle direct correlations taken into account at wide temperature region on the base of the density matrix of the interacting Bose-particles [I. O. Vakarchuk, O. I. Hryhorchak, Journ. Phys. Stud. 3, 3005 (2009)]. In the low temperature limit the obtained expression for the full energy is equal to the wellknown expression for ground state energy in the approximation of "two sums over the wave vector". The results of this work can be applied for the numeric calculation of the heat capacity of liquid 4 He in order to check the theoretical and experimental results quantatively, especially in the λ-transition region. 1 Вступ Розрахунок внутрiшньої енергiї такої багатобозонної системи, як рiдкий 4 He має доволi давню iсторiю. Великою мiрою це пов'язано iз прагненням теоретично описати λ-подiбний хiд кривої теплоємностi в околi точки фазового переходу. Першi кроки були зробленi в напрямi наближеного обчислення енергiї основного стану i енергетичного спектру цiєї системи ще Боголюбовим [1] майже сiмдесят рокiв тому. Пiзнiше вiн разом iз Зубарєвим у роботi [2] знайшли хвильову функцiю основного стану, а також хвильовi функцiї нижнiх збуджених рiвнiв для слабонеiдеального бозе-газу з допомогою методу колективних змiнних. В границi зникаюче малої взаємодiї енергiя основного стану бозе-системи була вперше коректно знайдена в роботi [3]. Розрахунок проводився з використанням псевдотенцiалу.Дослiдження термодинамiчних функцiй основного стану рiдкого 4 He, зокрема внутрiшньої енергiї, в наближеннi вищому, нiж наближення Боголюбова, було проведено в рядi робiт [4,5,6,7]. Завдяки цим роботам було показано, що врахування три-та чотиричастинкових кореляцiй покращує значення для енергiї основного стану.Трохи згодом в роботах [8,9] з допомогою двочасових температурних функцiй Грiна були отриманi вирази для термодинамiчних функцiй рiдкого 4 He в широкотемпературному дiапазонi. В пiдходi колективних змiнних термодинамiчнi функцiї багатобозонної системи в широкотемпературнiй областi були знайденi в роботi [10]. Розрахунок проводився за допомогою уcереднення з матрицею густини взаємодiючих бозе-частинок в наближеннi парних кореляцiй. Узгодження з експериментальними даними отриманих результатiв для кiнетичної, потенцiальної та повної енергiї є досить добрим [11,12,13,14], однак неповним. Це великою мiрою пов'язано з тим, що для матрицi густини було взято лише наближення парних кореляцiї. Для бiльш точних результатiв потрiбно врахувати три-та чотиричастинковi кореляцiї. Як вiдомо [15,16], їх внесок в значення термодинамiчних функцiй може виявитися досить значним. Врахування внескiв три-i чотиричастинкових кореляцiй у внутрiшню енергiю багатобозонної системи i є предметом цiєї роботи. 1 arXiv:1506.03987v1 [cond-mat.quant-gas]