Une caractérisation de certaines classes d'entiers algébriques généralisant les nombres de Salem par Mohamed Kerada (Jijel) Introduction. En 1933, D. H. Lehmer [7] posa la question suivante : existe-t-il une constante ε 0 , ε 0 > 0, telle que tout polynôme P unitaire,à coefficients entiers rationnels vérifiant M (P) < 1 + ε 0 , ne possède que des racines de l'unité? La quantité M (P), appelée mesure de Mahler de P , est définie pour un tel polynôme par M (P) = n i=1 max(|θ i |, 1), où θ 1 ,. .. , θ n désignent les racines de P. Lehmer donnaégalement un polynôme de degré 10, de mesure de Mahler 1,17628.. . , appelé "polynôme de Lehmer" : P (z) = z 10 + z 9 − z 7 − z 6 − z 5 − z 4 − z 3 + z + 1. La mesure de Mahler de ce polynôme est encore la plus petite mesure de Mahler connue. On remarque que ce polynôme est unitaire, irréductible, réciproque et possède une seule racine τ positive de module strictement supérieurà 1 et au moins une racine de module 1. Un tel polynôme est appelé "polynôme de Salem" et sa racine de module supérieurà 1 "nombre de Salem". Smyth [10] prouva en 1971 l'inégalité M (P) ≥ θ 0 = 1,3247. .. , pour P unitaire,à coefficients entiers rationnels, non réciproque, θ 0 désignant le plus petit "nombre de Pisot", racine supérieureà 1 de l'équation z 3 − z − 1 = 0. Rappelons qu'un entier algébrique θ, θ > 1, est un "nombre de Pisot" si les autres conjugués ont un module strictement inférieurà 1.
Let k > 0 an integer. F , τ , N , N k , N(2) k and A denote the classes of finite, torsion, nilpotent, nilpotent of class at most k, group which every two generator subgroup is N k and abelian groups respectively. The main results of this paper is, firstly, we prove that, in the class of finitely generated τ N -group (respectively F N -group) a (F C)τ -group (respectively (F C)F -group) is a τ A-group (respectively is F A-group). Secondly, we prove that a finitely generated τ N -group (respectivelyk -group). Thirdly we prove that a finitely generated τ N -group (respectively F N -group) in the class ((τ N k )τ, ∞) * ( respectively ((F N k )F, ∞) * ) is a τ Nc-group (respectively F Nc-group) for certain integer c and we extend this results to the class of N F -groups. Mathematics Subject Classification: 20F22, 20F99. Key words and phrases: (F C)τ -group; (F C)F -group; ((τ N k )τ, ∞)-group; ((F N k )F, ∞)-group; ((τ N k )τ, ∞) * -group; ((F N k )F, ∞) * -group.
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